山东省某示范性高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求-优题课

如图，长方体 ABCD- A ₁ B ₁ C ₁ D ₁的底面 ABCD是正方形，点 E在棱 AA ₁上， BE⊥ EC ₁.

（1）证明： BE⊥平面 EB ₁ C ₁；

（2）若 AE= A ₁ E，求二面角 B- EC- C ₁的正弦值.

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1） $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ；

（2） $(a + b)^{3} + (b + c)^{3} + (c + a)^{3} \geq 24$ ．

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} ， \\ y = \frac{4 t}{1 + t^{2}} \end{matrix}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $2 ρ \cos θ + \sqrt{3} ρ \sin θ + 11 = 0$ ．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 $- 1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 $- 1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求 $X$ 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， $p_{i} (i = 0, 1, \dots, 8)$ 表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_{0} = 0$ ， $p_{8} = 1$ ， $p_{i} = a p_{i - 1} + b p_{i} + c p_{i + 1} (i = 1, 2, \dots, 7)$ ，其中 $a = P (X = - 1)$ ， $b = P (X = 0)$ ， $c = P (X = 1)$ ．假设 $α = 0.5$ ， $β = 0.8$ ．

(i)证明： ${p_{i + 1} - p_{i}} (i = 0, 1, 2, \dots, 7)$ 为等比数列；

(ii)求 $p_{4}$ ，并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性．

已知函数 $f (x) = \sin x - \ln (1 + x)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数．证明：

（1） $f^{'} (x)$ 在区间 $(- 1, \frac{π}{2})$ 存在唯一极大值点；

（2） $f (x)$ 有且仅有2个零点．

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