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题文

山东省某示范性高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表:

 
信息技术
生物
化学
物理
数学
周一





周三





周五





 (Ⅰ)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;
 (Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为,求随即变量的分布列和数学期望

科目 数学   题型 解答题   难度 未知
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已知数列 x n 满足 : x 1 = 1 , x n = x n + 1 + ln 1 + x n + 1 n N * .

证明: 当 n N * 时,

( I ) 0 < x n + 1 < x n ;

( II ) 2 x n + 1 - x n x n x n + 1 2 ;

( III ) 1 2 n - 1 x n 1 2 n - 2 .

如图,已知抛物线 x 2 = y , 点 A - 1 2 , 1 4 , B 3 2 , 9 4 , 抛物线上的点 P ( x , y )

- 1 2 < x < 3 2 . 过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q .

( I ) 求直线 AP 斜率的取值范围;

( II ) 求 | PA | | PQ | 的最大值。

已知函数 f ( x ) = ( x - 2 x - 1 ) e - x x 1 2 .

( I ) 求 f ( x ) 的导函数;

( II ) 求 f ( x ) 在区间 1 2 , + 上的取值范围.

如图,已知四棱锥 P - ABCD , PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形, BC / / AD , CD AD , PC = AD = 2 D C = 2 CB , E PD 的中点.

(I ) 证明: CE / / 平面 PAB ;

( II )求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.

已知函数 f ( x ) = sin 2 x - cos 2 x - 2 3 sin x cos x ( x R ) .

( I ) 求 f 2 π 3 的值;

( II )求 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间;

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