因式分解：⑴3x2－27⑵x3－6x29x⑶(x24)2

某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；

（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？

如图，点 $A$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一条直线上，已知 $AF = DC$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $BC / / EF$ ，求证： $AB = DE$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 经过 $ΔOAB$ 的三个顶点，其中点 $A (1, \sqrt{3})$ ，点 $B (3, - \sqrt{3})$ ， $O$ 为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若 $P (4, m)$ ， $Q (t, n)$ 为该抛物线上的两点，且 $n < m$ ，求 $t$ 的取值范围；

（3）若 $C$ 为线段 $AB$ 上的一个动点，当点 $A$ ，点 $B$ 到直线 $OC$ 的距离之和最大时，求 $∠ BOC$ 的大小及点 $C$ 的坐标．

（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 $ABC$ ，其中 $AB = AC$ ，在 $ΔABC$ 的外侧分别以 $AB$ ， $AC$ 为腰作了两个等腰直角三角形 $ABD$ ， $ACE$ ，分别取 $BD$ ， $CE$ ， $BC$ 的中点 $M$ ， $N$ ， $G$ ，连接 $GM$ ， $GN$ ．小明发现了：线段 $GM$ 与 $GN$ 的数量关系是　　；位置关系是　　．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 $ABC$ 换为一般的锐角三角形，其中 $AB > AC$ ，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向 $ΔABC$ 的内侧分别作等腰直角三角形 $ABD$ ， $ACE$ ，其它条件不变，试判断 $ΔGMN$ 的形状，并给与证明．

如图，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 外接于 $ΔABC$ ，过 $A$ 点的切线 $AP$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $P$ ， $∠ APB$ 的平分线分别交 $AB$ ， $AC$ 于点 $D$ ， $E$ ，其中 $AE$ ， $BD (AE < BD)$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个实数根．

（1）求证： $PA \cdot BD = PB \cdot AE$ ；

（2）在线段 $BC$ 上是否存在一点 $M$ ，使得四边形 $ADME$ 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．