为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，-优题课

题文

为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：
5 6 7 8 9 10
把这6名学生的得分看成一个总体.
（Ⅰ）求该总体的平均数；
（Ⅱ）用简单随机抽样的方法从6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率

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设定义在（ $0, + \infty$ ）上的函数 $f (x) = a x + \frac{1}{a x} + b (a > 0)$

(Ⅰ)求 $f (x)$ 的最小值；
(Ⅱ)若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = \frac{3}{2} x$ ，求 $a, b$ 的值。

设△ $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$ ，且有 $2 \sin B \cos A = \sin A \cos C + \cos A \sin C$ .

（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；
(Ⅱ)若 $b = 2, c = 1, D$ 为 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的长.

若函数 $h (x)$ 满足
（1） $h (0) = 1, h (1) = 0$ ；
（2）对任意 $a \in [0, 1]$ ，有 $h (h (a)) = a$ ；
（3）在（0,1）上单调递减。则称 $h (x)$ 为补函数。已知函数 $h (x) = (\frac{1 - x^{p}}{1 + λ x^{p}})^{\frac{1}{p}} (λ > - 1, p > 0)$ .

（1）判函数 $h (x)$ 是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在 $m \in [0, 1]$ ，使得 $h (m) = m$ ，若 $m$ 是函数 $h (x)$ 的中介元，记 $p = \frac{1}{n} (n \in N^{*})$ 时 $h (x)$ 的中介元为 $x_{n}$ ，且 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ，若对任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 $S_{n} < \frac{1}{2}$ ,求 $λ$ 的取值范围；
（3）当 $λ = 0$ ， $x \in (0, 1)$ 时，函数 $y = h (x)$ 的图像总在直线 $y = 1 - x$ 的上方，求P的取值范围。

已知三点 $O (0, 0), A (- 2, 1), B (2, 1)$ ，曲线 $C$ 上任意一点 $M (x, y)$ 满足 $\overset{⇀}{M A} + \overset{⇀}{M B} = \overset{⇀}{O M} \cdot (\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}) + 2$ .
（1）求曲线 $C$ 的方程；
（2）动点 $Q (x_{0}, y_{0}) (- 2 ＜ x_{0} ＜ 2)$ 在曲线 $C$ 上，曲线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线为 $1$ ，问：是否存在定点 $P (0, t) (t < 0)$ ，使得 $1$ 与 $P A, P B$ 都不相交，交点分别为 $D, E$ ，且 $△ Q A B$ 与 $△ P D E$ 的面积之比是常数？若存在，求 $t$ 的值。若不存在，说明理由。

在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = A C = A A_{1} = \sqrt{5}$ ， $B C = 4$ ，在 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的投影是线段 $B C$ 的中点 $O$ 。

（1）证明在侧棱 $A A_{1}$ 上存在一点 $E$ ，使得 $O E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，并求出 $A E$ 的长；
（2）求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值。

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