计算：．-优题课

如图，已知 $∠ AOB$ ，点 $M$ 在边 $OA$ 上．请用尺规作图法求作 $⊙ M$ ，使 $⊙ M$ 与边 $OB$ 相切．（保留作图痕迹，不写作法）

问题提出

（1）如图①，在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 120 °$ ， $AB = AC = 5$ ，则 $ΔABC$ 的外接圆半径 $R$ 的值为　　．

问题探究

（2）如图②， $⊙ O$ 的半径为13，弦 $AB = 24$ ， $M$ 是 $AB$ 的中点， $P$ 是 $⊙ O$ 上一动点，求 $PM$ 的最大值．

问题解决

（3）如图③所示， $AB$ 、 $AC$ 、 $\hat{BC}$ 是某新区的三条规划路，其中 $AB = 6 km$ ， $AC = 3 km$ ， $∠ BAC = 60 °$ ， $\hat{BC}$ 所对的圆心角为 $60 °$ ，新区管委会想在 $\hat{BC}$ 路边建物资总站点 $P$ ，在 $AB$ ， $AC$ 路边分别建物资分站点 $E$ 、 $F$ ，也就是，分别在 $\hat{BC}$ 、线段 $AB$ 和 $AC$ 上选取点 $P$ 、 $E$ 、 $F$ ．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 $P \to E \to F \to P$ 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 $PE$ 、 $EF$ 和 $FP$ ．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段 $PE$ 、 $EF$ 、 $FP$ 之和最短，试求 $PE + EF + FP$ 的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

已知抛物线 $L : y = x^{2} + x - 6$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），并与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的坐标，并求 $ΔABC$ 的面积；

（2）将抛物线 $L$ 向左或向右平移，得到抛物线 $L'$ ，且 $L'$ 与 $x$ 轴相交于 $A^{'}$ 、 $B'$ 两点（点 $A'$ 在点 $B'$ 的左侧），并与 $y$ 轴相交于点 $C'$ ，要使△ $A^{'} B' C'$ 和 $ΔABC$ 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，以斜边 $AB$ 上的中线 $CD$ 为直径作 $⊙ O$ ，分别与 $AC$ 、 $BC$ 交于点 $M$ 、 $N$ ．

（1）过点 $N$ 作 $⊙ O$ 的切线 $NE$ 与 $AB$ 相交于点 $E$ ，求证： $NE ⊥ AB$ ；

（2）连接 $MD$ ，求证： $MD = NB$ ．

如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为 $120 °$ ．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．

（1）转动转盘一次，求转出的数字是 $- 2$ 的概率；

（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．