如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝C-优题课

时代中学从学生兴趣出发，实施体育活动课走班制．为了了解学生最喜欢的一种球类运动，以便合理安排活动场地，在全校至少喜欢一种球类（乒乓球、羽毛球、排球、篮球、足球）运动的1200名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查（每人只能在这五种球类运动中选择一种），调查结果统计如下：

球类名称	乒乓球	羽毛球	排球	篮球	足球
人数	42	$a$	15	33	$b$

解答下列问题：

（1）这次抽样调查中的样本是　　；

（2）统计表中， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（3）试估计上述1200名学生中最喜欢乒乓球运动的人数．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (0, 3)$ 三点， $D$ 为直线 $BC$ 上方抛物线上一动点， $DE ⊥ BC$ 于 $E$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，求线段 $DE$ 长度的最大值；

（3）如图2，设 $AB$ 的中点为 $F$ ，连接 $CD$ ， $CF$ ，是否存在点 $D$ ，使得 $ΔCDE$ 中有一个角与 $∠ CFO$ 相等？若存在，求点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $A$ 、 $B$ 是 $⊙ O$ 上两点， $ΔOAB$ 外角的平分线交 $⊙ O$ 于另一点 $C$ ， $CD ⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于 $D$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2） $E$ 为 $\hat{AB}$ 的中点， $F$ 为 $⊙ O$ 上一点， $EF$ 交 $AB$ 于 $G$ ，若 $\tan ∠ AFE = \frac{3}{4}$ ， $BE = BG$ ， $EG = 3 \sqrt{10}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．

（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；

（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？

已知 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 分别是 $AB$ 、 $AC$ 的中点，将 $ΔADE$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转一个角度 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到△ $A D^{'} E'$ ，连接 $BD'$ 、 $CE'$ ，如图 1 ．

（1）求证： $BD' = C E^{'}$ ；

（2）如图 2 ，当 $α = 60 °$ 时，设 $AB$ 与 $D' E'$ 交于点 $F$ ，求 $\frac{BF}{FA}$ 的值．