如图，在Rt△ABC中，∠C90º．求作：∠BAC的角平分线-优题课

如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 8$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $AB$ ， $CD$ 的中点．

（1）求证：四边形 $AEFD$ 是矩形；

（2）如图2，点 $P$ 是边 $AD$ 上一点， $BP$ 交 $EF$ 于点 $O$ ，点 $A$ 关于 $BP$ 的对称点为点 $M$ ，当点 $M$ 落在线段 $EF$ 上时，则有 $OB = OM$ ．请说明理由；

（3）如图3，若点 $P$ 是射线 $AD$ 上一个动点，点 $A$ 关于 $BP$ 的对称点为点 $M$ ，连接 $AM$ ， $DM$ ，当 $ΔAMD$ 是等腰三角形时，求 $AP$ 的长．

如图，两条抛物线 $y_{1} = - x^{2} + 4$ ， $y_{2} = - \frac{1}{5} x^{2} + bx + c$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴负半轴上，且为抛物线 $y_{2}$ 的最高点．

（1）求抛物线 $y_{2}$ 的解析式和点 $B$ 的坐标；

（2）点 $C$ 是抛物线 $y_{1}$ 上 $A$ ， $B$ 之间的一点，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交 $y_{2}$ 于点 $D$ ，当线段 $CD$ 取最大值时，求 $S_{ΔBCD}$ ．

[材料阅读]2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个觇标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于 $300 m$ 时，还要考虑球气差，球气差计算公式为 $f = \frac{0.43 d^{2}}{R}$ （其中 $d$ 为两点间的水平距离， $R$ 为地球的半径， $R$ 取 $6400000 m)$ ，即：山的海拔高度 $=$ 测量点测得山的高度 $+$ 测量点的海拔高度 $+$ 球气差．

[问题解决]某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点 $A$ ， $B$ 的水平距离 $d = 800 m$ ，测量仪 $AC = 1.5 m$ ，觇标 $DE = 2 m$ ，点 $E$ ， $D$ ， $B$ 在垂直于地面的一条直线上，在测量点 $A$ 处用测量仪测得山顶觇标顶端 $E$ 的仰角为 $37 °$ ，测量点 $A$ 处的海拔高度为 $1800 m$ ．

（1）数据6400000用科学记数法表示为　 $6.4 \times 10^{6}$ 　；

（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到 $0.01 m)$

（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75)$

如图，点 $P$ 是 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 延长线上的一点 $(PB < OB)$ ，点 $E$ 是线段 $OP$ 的中点．

（1）尺规作图：在直径 $AB$ 上方的圆上作一点 $C$ ，使得 $EC = EP$ ，连接 $EC$ ， $PC$ （保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明 $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）在（1）的条件下，若 $BP = 4$ ， $EB = 1$ ，求 $PC$ 的长．

为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要 $19 \min$ ；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要 $11 \min$ ．

（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？

（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度 $y$ （单位： $mg / m^{3})$ 与时间 $x$ （单位： $\min)$ 的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = 2 x$ ，药物喷洒完成后 $y$ 与 $x$ 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为 $A (m, n)$ ．当教室空气中的药物浓度不高于 $1 mg / m^{3}$ 时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．