在平面直角坐标系 $xOy$中， $F$是抛物线 $C:x^2=2py(p>0)$的焦点， $M$是抛物线 $C$上位于第一象限内的任意一点，过 $M,F,O$三点的圆的圆心为 $Q$，点 $Q$到抛物线 $C$的准线的距离为 $\frac{3}{4}$.
（Ⅰ）求抛物线 $C$的方程；
（Ⅱ）是否存在点 $M$，使得直线 $MQ$与抛物线 $C$相切于点 $M$？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点 $M$的横坐标为 $\sqrt{2}$，直线 $l:y=kx+\frac{1}{4}$与抛物线 $C$有两个不同的交点 $A,B$， $l$与圆 $Q$有两个不同的交点 $D,E$，求当 $\frac{1}{2}\le k\le 2$时， ${\left|AB\right|}^2+{\left|DE\right|}^2$的最小值.

科目 数学   题型 解答题   难度 容易

知识点： 参数方程