在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C:x22py(p<0)-优题课

题文

在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点，过 $M, F, O$ 三点的圆的圆心为 $Q$ ，点 $Q$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $\frac{3}{4}$ .
（Ⅰ）求抛物线 $C$ 的方程；
（Ⅱ）是否存在点 $M$ ，使得直线 $M Q$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $M$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点 $M$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，直线 $l : y = k x + \frac{1}{4}$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A, B$ ， $l$ 与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D, E$ ，求当 $\frac{1}{2} \leq k \leq 2$ 时， ${|A B|}^{2} + {|D E|}^{2}$ 的最小值.

科目数学题型解答题难度容易

知识点：参数方程

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.在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足①,②= = ③∥
（1）求顶点C的轨迹E的方程
（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（, 0），已知∥, ∥且·= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.

.如图，把正三角形ABC分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等.设点A为第一行，…，BC为第n行，记点A上的数为a，…第i行中第j个数为a（1≤j≤i）.若a=
（1）求a
（2）试归纳出第n行中第m个数a表达式（用含n,m的式子表示，不必证明）；
（3）记S…+a，证明：n≤++…+≤

设函数f ( x ) = (a ÎN*), 又存在非零自然数m, 使得f (m ) =" m" ,
f (– m ) < –成立.
(1) 求函数f ( x )的表达式;
(2) 设{a_n}是各项非零的数列, 若对任意nÎN*成立, 求数列{a_n}的一个通项公式;
在(2)的条件下, 数列{a_n}是否惟一确定? 请给出判断, 并予以证明.

.设函数y=f(x)的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x, y，均有
f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1，且当x>1时，f(x)>0。
（1）求f(1), f()的值；
（2）试判断y=f(x)在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）一个各项均为正数的数列{a_n}满足f(S_n)=f(a_n)+f(a_n+1)－1，n∈N*，其中S_n是数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式；
（4）在（3）的条件下，是否存在正数M，使2ⁿ·a₁·a₂…a_n≥M·.(2a₁－1)·(2a₂－1)…(2a_n－1)对于一切n∈N*均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由.

.已知二次函数经过点（0，10），其导数，当（）时，是整数的个数记为。
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项（）项和。

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