阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA-优题课

阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
(1) 图2中∠BPC的度数为      ；
(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为       ，正六边形ABCDEF的边长为      ．

图1                       图2                    图3

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

如图是某小区的一个健身器材，已知 $BC = 0.15 m$ ， $AB = 2.70 m$ ， $∠ BOD = 70 °$ ，求端点 $A$ 到地面 $CD$ 的距离（精确到 $0.1 m)$ ．（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75)$

如图1，在平面直角坐标系中，四边形 $OABC$ 各顶点的坐标分别为 $O (0, 0)$ ， $A (3$ ， $3 \sqrt{3})$ 、 $B (9$ ， $5 \sqrt{3})$ ， $C (14, 0)$ ，动点 $P$ 与 $Q$ 同时从 $O$ 点出发，运动时间为 $t$ 秒，点 $P$ 沿 $OC$ 方向以1单位长度 $/$ 秒的速度向点 $C$ 运动，点 $Q$ 沿折线 $OA - AB - BC$ 运动，在 $OA$ 、 $AB$ 、 $BC$ 上运动的速度分别为3， $\sqrt{3}$ ， $\frac{5}{2}$ （单位长度 $/$ 秒），当 $P$ 、 $Q$ 中的一点到达 $C$ 点时，两点同时停止运动．

（1）求 $AB$ 所在直线的函数表达式；

（2）如图2，当点 $Q$ 在 $AB$ 上运动时，求 $ΔCPQ$ 的面积 $S$ 关于 $t$ 的函数表达式及 $S$ 的最大值；

（3）在 $P$ 、 $Q$ 的运动过程中，若线段 $PQ$ 的垂直平分线经过四边形 $OABC$ 的顶点，求相应的 $t$ 值．

如图1，将 $ΔABC$ 纸片沿中位线 $EH$ 折叠，使点 $A$ 对称点 $D$ 落在 $BC$ 边上，再将纸片分别沿等腰 $ΔBED$ 和等腰 $ΔDHC$ 的底边上的高线 $EF$ ， $HG$ 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．

（1）将 $▱ ABCD$ 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形 $AEFG$ ，则操作形成的折痕分别是线段　　，　　； $S_{矩形 AEFG} : S_{▱ ABCD} =$ 　　．

（2） $▱ ABCD$ 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形 $EFGH$ ，若 $EF = 5$ ， $EH = 12$ ，求 $AD$ 的长；

（3）如图4，四边形 $ABCD$ 纸片满足 $AD / / BC$ ， $AD < BC$ ， $AB ⊥ BC$ ， $AB = 8$ ， $CD = 10$ ，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出 $AD$ 、 $BC$ 的长．

如图，已知： $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线， $AD ⊥ CD$ 于点 $D$ ， $E$ 是 $AB$ 延长线上一点， $CE$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $OC$ 、 $AC$ ．

（1）求证： $AC$ 平分 $∠ DAO$ ．

（2）若 $∠ DAO = 105 °$ ， $∠ E = 30 °$

①求 $∠ OCE$ 的度数；

②若 $⊙ O$ 的半径为 $2 \sqrt{2}$ ，求线段 $EF$ 的长．

甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 $O$ 点正上方 $1 m$ 的 $P$ 处发出一球，羽毛球飞行的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间满足函数表达式 $y = a {(x - 4)}^{2} + h$ ，已知点 $O$ 与球网的水平距离为 $5 m$ ，球网的高度为 $1.55 m$ ．

（1）当 $a = - \frac{1}{24}$ 时，①求 $h$ 的值；②通过计算判断此球能否过网．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 $O$ 的水平距离为 $7 m$ ，离地面的高度为 $\frac{12}{5} m$ 的 $Q$ 处时，乙扣球成功，求 $a$ 的值．