如图，直三棱柱ABCA`B`C`，∠BAC90°，ABAC2-优题课

题文

如图，直三棱柱 $A B C - A ` B ` C `$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ , $A A ` = 1$ ，点 $A ` B$ 和 $B ` C `$ 的中点。

(Ⅰ)证明： $M N ∥$ 平面 $A ` A C C `$ ；
(Ⅱ)求三棱锥 $A ` - M N C$ 的体积。（锥体体积公式 $V - \frac{1}{3} S h$ ,其中 $S$ 为底面面积， $h$ 为高).

科目数学题型解答题难度容易

知识点：立体图形的结构特征

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（本小题满分12分）已知，设函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若是自然对数的底数，当时，是否存在常数、，使得不等式对于任意的正实数都成立？若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由．

（本小题满分12分）已知椭圆经过点，一个焦点是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与轴的两个交点为、，点在直线上，直线、分别与椭圆交于、两点．试问：当点在直线上运动时，直线是否恒经过定点？证明你的结论．

（本小题满分12分）如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是．记小球遇到第行第个障碍物（从左至右）上顶点的概率为．
（Ⅰ）求，的值，并猜想的表达式（不必证明）；
（Ⅱ）已知，设小球遇到第6行第个障碍物（从左至右）上顶点时，
得到的分数为，试求的分布列及数学期望．

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成角是，锐二面角的平面角是，试判断与的大小关系，并予以证明．

（本小题满分12分）已知是函数图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）作出函数在上的图象简图（不要求书写作图过程）．

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