矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标-优题课

矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，－3），直线与BC边相交于D点．

（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线经过点A，求此抛物线的表达式及对称轴；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为坐标轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出点M的坐标和符合条件的点P的坐标．
（4）当（3）中符合条件的△POM面积最大时，过点O的直线将其面积分为∶两部分，请直接写出直线的解析式

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $CD$ 中点，连接 $OE$ ．过点 $C$ 作 $CF / / BD$ 交 $OE$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $DF$ ．

求证：（1） $ΔODE ≅ ΔFCE$ ；

（2）四边形 $OCFD$ 是矩形．

如图， $AG$ 是 $∠ HAF$ 的平分线，点 $E$ 在 $AF$ 上，以 $AE$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AG$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $AH$ 的垂线，垂足为点 $C$ ，交 $AF$ 于点 $B$ ．

（1）求证：直线 $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 2 CD$ ，设 $⊙ O$ 的半径为 $r$ ，求 $BD$ 的长度．

某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：

成绩分组	频数	频率
$50 ⩽ x < 60$	8	0.16
$60 ⩽ x < 70$	12	$a$
$70 ⩽ x < 80$	■	0.5
$80 ⩽ x < 90$	3	0.06
$90 ⩽ x ⩽ 100$	$b$	$c$
合计	■	1

（1）写出 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；

（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $E$ 是 $BC$ 的中点， $AD / / BC$ ， $AE / / DC$ ， $EF ⊥ CD$ 于点 $F$ ．

（1）求证：四边形 $AECD$ 是菱形；

（2）若 $AB = 6$ ， $BC = 10$ ，求 $EF$ 的长．

如图， $PA$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $AB ⊥ OP$ ，垂足为 $C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ．连接 $PB$ ， $AO$ ，并延长 $AO$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，与 $PB$ 的延长线交于点 $E$ ．

（1）求证： $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OC = 3$ ， $AC = 4$ ，求 $\sin E$ 的值．