如图，在Rt△ABC中，∠C90°，∠ABC的平分线交AC于-优题课

已知二次函数 $y = x^{2} + b x - c$ 的图象经过两点 $P （ 1 ， a ）， Q （ 2 ， 10 a ）$ .

（1）如果 $a, b, c$ 都是整数，且 $c < b < 8 a$ ，求 $a, b, c$ 的值；

（2）设二次函数 $y = x^{2} + bx - c$ 的图象与 $x$ 轴的交点为 $A, B$ ，与 $y$ 轴的交点为 $C$ .如果关于 $x$ 的方程 $x^{2} + bx - c = 0$ 的两个根都是整数，求 $△ ABC$ 的面积.

若方程 $|x^{2} + 2 x - 1| = b$ 有四个互不相等的根，求 $b$ 的取值范围.

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话:

甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费 $3000$ 元，那么 $50$ 辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加 $50$ 元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 $200$ 元.

乙公司经理:我公司每辆汽车月租费 $3500$ 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计 $1850$ 元.

说明:①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题:

（1）当每个公司租出的汽车为 $10$ 辆时，甲公司的月利润是＿＿＿＿元；当每个公司租出的汽车为＿＿＿＿辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出 $1$ 辆汽车捐出 $a$ 元 $(a > 0)$ 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为 $17$ 辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 $a$ 的取值范围.

在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 $A, B$ 两种农作物为原料开发了一种有机产品. $A$ 原料的单价是 $B$ 原料单价的 $1.5$ 倍，若用 $900$ 元收购 $A$ 原料会比用900元收购 $B$ 原料少 $100 kg$ .生产该产品每盒需要 $A$ 原料 $2 kg$ 和 $B$ 原料 $4 kg$ ，每盒还需其他成本 $9$ 元.市场调查发现:该产品每盒的售价是 $60$ 元时，每天可以销售 $500$ 盒；每涨价 $1$ 元，每天少销售 $10$ 盒.

（1）求每盒产品的成本（成本 $=$ 原料费 $+$ 其他成本 $)$ ；

（2）设每盒产品的售价是 $x$ 元（ $x$ 是整数），每天的利润是 $w$ 元，求 $w$ 关于 $x$ 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过 $a$ 元（ $a$ 是大于 $60$ 的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润.

红星公司销售一种成本为 $40$ 元/件的产品，若月销售单价不高于 $50$ 元 $/$ 件，一个月可售出 $5$ 万件；月销售单价每涨价 $1$ 元，月销售量就减少 $0.1$ 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为 $x$ （单位:元/件），月销售量为 $y$ （单位:万件）.

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元?

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款 $a$ 元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于 $70$ 元/件，月销售最大利润是 $78$ 万元，求 $a$ 的值.