如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，-优题课

如图，在 $Rt Δ ABM$ 和 $Rt Δ ADN$ 的斜边分别为正方形的边 $AB$ 和 $AD$ ，其中 $AM = AN$ ．

（1）求证： $Rt Δ ABM ≅ Rt Δ AND$ ；

（2）线段 $MN$ 与线段 $AD$ 相交于 $T$ ，若 $AT = \frac{1}{4} AD$ ，求 $\tan ∠ ABM$ 的值．

如图为某区域部分交通线路图，其中直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$ ，直线 $l$ 与直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、 $l_{3}$ 都垂直，垂足分别为点 $A$ 、点 $B$ 和点 $C$ ，（高速路右侧边缘）， $l_{2}$ 上的点 $M$ 位于点 $A$ 的北偏东 $30 °$ 方向上，且 $BM = \sqrt{3}$ 千米， $l_{3}$ 上的点 $N$ 位于点 $M$ 的北偏东 $α$ 方向上，且 $\cos α = \frac{\sqrt{13}}{13}$ ， $MN = 2 \sqrt{13}$ 千米，点 $A$ 和点 $N$ 是城际线 $L$ 上的两个相邻的站点．

（1）求 $l_{2}$ 和 $l_{3}$ 之间的距离；

（2）若城际火车平均时速为150千米 $/$ 小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 $A$ 到站点 $N$ 需要多少小时？（结果用分数表示）

为提高公民法律意识，大力推进国家工作人员学法用法工作，今年年初某区组织本区900名教师参加“如法网”的法律知识考试，该区 $A$ 学校参考教师的考试成绩绘制成如下统计图和统计表（满分100分，考试分数均为整数，其中最低分76分）

分数	人数
85.5以下	10
85.5以上	35
96.5以上	8

（1）求 $A$ 学校参加本次考试的教师人数；

（2）若该区各学校的基本情况一致，试估计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数；

（3）求 $A$ 学校参考教师本次考试成绩 $85.5 ~ 96.5$ 分之间的人数占该校参考人数的百分比．

我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　　；

②在凸四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ 且 $CB \neq CD$ ，则该四边形　　“十字形”．（填“是”或“不是” $)$

（2）如图1， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是半径为1的 $⊙ O$ 上按逆时针方向排列的四个动点， $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$ ， $∠ ADB - ∠ CDB = ∠ ABD - ∠ CBD$ ，当 $6 ⩽ A C^{2} + B D^{2} ⩽ 7$ 时，求 $OE$ 的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a > 0$ ， $c < 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $C$ 两点（点 $A$ 在点 $C$ 的左侧）， $B$ 是抛物线与 $y$ 轴的交点，点 $D$ 的坐标为 $(0, - ac)$ ，记“十字形” $ABCD$ 的面积为 $S$ ，记 $ΔAOB$ ， $ΔCOD$ ， $ΔAOD$ ， $ΔBOC$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

① $\sqrt{S} = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}}$ ；② $\sqrt{S} = \sqrt{S_{3}} + \sqrt{S_{4}}$ ；③“十字形” $ABCD$ 的周长为 $12 \sqrt{10}$ ．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y = \frac{m}{x} (m$ 为常数， $m > 1$ ， $x > 0)$ 的图象经过点 $P (m, 1)$ 和 $Q (1, m)$ ，直线 $PQ$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $C$ ， $D$ 两点，点 $M (x, y)$ 是该函数图象上的一个动点，过点 $M$ 分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $A$ ， $B$ ．

（1）求 $∠ OCD$ 的度数；

（2）当 $m = 3$ ， $1 < x < 3$ 时，存在点 $M$ 使得 $ΔOPM ∽ ΔOCP$ ，求此时点 $M$ 的坐标；

（3）当 $m = 5$ 时，矩形 $OAMB$ 与 $ΔOPQ$ 的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．