（本小题满分12分）
2012年4月15日，央视《每周质量报告》曝光某省一些厂商用生石灰处理皮革废料，熬制成工业明胶，卖给一些药用胶囊生产企业，由于皮革在工业加工时，要使用含铬的鞣制剂，因此这样制成的胶囊，往往重金属铬超标，严重危害服用者的身体健康。该事件报道后，某市药监局立即成立调查组，要求所有的药用胶囊在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，两轮检测是否合格相互没有影响。
（1）某药用胶囊共生产3个不同批次，经检测发现有2个批次为合格，另1个批次为不合格，现随机抽取该药用胶囊5件，求恰有2件不能销售的概率；
（2）若对某药用胶囊的3个不同批次分别进行两轮检测，药品合格的概率如下表：
| |
第1批次 |
第2批次 |
第3批次 |
| 第一轮检测 |
 |
 |
 |
| 第二轮检测 |
 |
 |
|
记该药用胶囊能通过检测进行销售的批次数为
，求的分布列及数学期望
已知函数
（其中
为自然对数的底数）.
（1）求函数
的单调区间；
（2）定义：若函数
在区间
上的取值范围为
，则称区间为函数的“域同区间”.试问函数在
上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.
已知双曲线
的中心为原点
，左、右焦点分别为
、
，离心率为
，点
是直线
上任意一点，点
在双曲线
上，且满足
.
（1）求实数
的值；
（2）证明：直线
与直线
的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为
，过点作动直线
与双曲线右支交于不同的两点
、
，在线段
上去异于点、的点
，满足
，证明点恒在一条定直线上.
已知等差数列
的首项为
，公差为
，等比数列
的首项为
，公比为，
.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设第
个正方形的边长为
，求前个正方形的面积之和
.
（注：
表示
与
的最小值.）
如图，在棱长为
的正方体
中，点
是棱
的中点，点
在棱
上，且满足
.
（1）求证：
；
（2）在棱
上确定一点
，使
、、、四点共面，并求此时
的长；
（3）求平面
与平面
所成二面角的余弦值.
甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是
，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是
，乙、丙两人同时能被聘用的概率为
，且三人各自能否被聘用相互独立.
（1）求乙、丙两人各自被聘用的概率；
（2）设
为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望）.