如图，在网格中、建立了平面直角坐标系，每个小正方形的边长均为-优题课

如图，在网格中、建立了平面直角坐标系，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将四边形ABCD绕坐标原点O按顺时针方向旋转180°后得到四边形A₁B₁C₁D₁．

(1)写出点D₁的坐标_________，点D旋转到点D₁所经过的路线长__________；
(2)请你在△ACD的三个内角中任选二个锐角，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是_________；
(3)将四边形A₁B₁C₁D₁平移，得到四边形A₂B₂C₂D₂，若点D₂ (4，5)，画出平移后的图形．(友情提示：画图时请不要涂错阴影的位置哦!)

科目数学题型解答题难度较易

知识点：对称式和轮换对称式

某商店计划购进甲、乙两种笔记本，已知2本甲笔记本与3本乙笔记本的总进价为42元，2本甲笔记本与1本乙笔记本的总进价为22元．

（1）求甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？

（2）该商店计划购进两种笔记本共40本，其中甲笔记本的数量不超过乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，求共有几种进货方案，并指出哪种方案最省钱．

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $H$ 为 $CD$ 的中点，延长 $AH$ 至 $F$ ，使 $AH = 3 FH$ ，过 $F$ 作 $FG ⊥ CD$ ，垂足为 $G$ ，过 $F$ 作 $BC$ 的垂线交 $BC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $ΔADH ∽ ΔFGH$ ；

（2）求证：四边形 $CEFG$ 是正方形．

如图，一次函数 $y = ax + b (a \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $A (- 2, 1)$ ， $B (1, - 2)$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出不等式 $ax + b ⩽ \frac{k}{x}$ 的解集．

某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分） $:$

七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98

八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98

整理得到如下统计表：

年级	最高分	平均分	众数	方差
七年级	98	94	$m$	7.6
八年级	98	94	93	$s^{2}$

根据以上信息，完成下列问题：

（1）填空： $m =$ 　　；

（2）求表中 $s^{2}$ 的值，并判断两个年级中哪个年级成绩更稳定；

（3）七年级两名最高分选手分别记为： $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，八年级第一、第二名选手分别记为： $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．

如图，在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 为等腰直角三角形， $∠ ACB = 90 °$ ，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ ， $C$ 的坐标分别为 $(1, 0)$ ， $(- 4, 0)$ ，抛物线的顶点为点 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $E$ 是直角三角形 $ABC$ 斜边 $AB$ 上的一个动点（不与 $A$ ， $B$ 重合），过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $F$ ，当线段 $FE$ 的长度最大时，求点 $E$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $ΔPEF$ 是以 $EF$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．