计算：．-优题课

某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚 $B$ 到山腰 $D$ 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从 $D$ 到 $A$ 修建电动扶梯，经测量，山高 $AC = 154$ 米，步行道 $BD = 168$ 米， $∠ DBC = 30 °$ ，在 $D$ 处测得山顶 $A$ 的仰角为 $45 °$ ．求电动扶梯 $DA$ 的长（结果保留根号）．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 1$ 与 $x$ 轴的交点为 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，且与 $y$ 轴交于 $C$ 点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $C_{1}$ ， $M$ 是线段 $B C_{1}$ 上的一个动点（不与 $B$ 、 $C_{1}$ 重合）， $ME ⊥ x$ 轴， $MF ⊥ y$ 轴，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ，当点 $M$ 在什么位置时，矩形 $MFOE$ 的面积最大？说明理由．

（3）已知点 $P$ 是直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 上的动点，点 $Q$ 为抛物线上的动点，当以 $C$ 、 $C_{1}$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点 $P$ 和点 $Q$ 的坐标．

如图，正六边形 $ABCDEF$ 内接于 $⊙ O$ ， $BE$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $BF$ ，延长 $BA$ ，过 $F$ 作 $FG ⊥ BA$ ，垂足为 $G$ ．

（1）求证： $FG$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）已知 $FG = 2 \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积．

如图，一次函数 $y = kx + b (k$ ， $b$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = - \frac{12}{x}$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，且与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ， $A$ 点的横坐标与 $B$ 点的纵坐标都是3．

（1）求一次函数的表达式；

（2）求 $ΔAOB$ 的面积；

（3）写出不等式 $kx + b > - \frac{12}{x}$ 的解集．

如图， $A$ 、 $B$ 两个小岛相距 $10 km$ ，一架直升飞机由 $B$ 岛飞往 $A$ 岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的 $hkm$ ，当直升机飞到 $P$ 处时，由 $P$ 处测得 $B$ 岛和 $A$ 岛的俯角分别是 $45 °$ 和 $60 °$ ，已知 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 和海平面上一点 $M$ 都在同一个平面上，且 $M$ 位于 $P$ 的正下方，求 $h$ （结果取整数， $\sqrt{3} \approx 1.732)$