如图，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于，两点-优题课

题文

如图，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于，两点．

（Ⅰ）如果，点的横坐标为，求的值；
（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于C点，设角、、的正弦线分别为MA、NB、PC，求证：线段MA、NB、PC能构成一个三角形；
（III）探究第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

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设 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + a x^{2}}$ ，其中 $a$ 为正实数
（Ⅰ）当 $a = \frac{4}{3}$ 时，求 $f (x)$ 的极值点
（Ⅱ）若 $f (x)$ 为 $R$ 上的单调函数，求 $a$ 的取值范围。

设直线 $l_{1} : y = k_{1} x + 1, l_{2} : y = k_{2} x - 1$ ,其中实数 $k_{1}, k_{2}$ 满足 $k_{1} k_{2} + 2 = 0$ ,
（I）证明 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交；
（II）证明 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点在椭圆 $2 x^{2} + y^{2} = 1$ 上.

在 $△$ $A B C$ 中， $a$ = $\sqrt{3}$ ， $b =$ $\sqrt{2}$ ， $1 + 2 \cos (B + C) = 0$ ，求:

（1）角A的大小；

（2）边 $B C$ 上的高．

设函数 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上， $f (1) = 0$ ，导函数 $f ` (x) = \frac{1}{x}$ , $g (x) = f (x) + f ` (x)$ .

（Ⅰ）求 $g (x)$ 的单调区间和最小值；

（Ⅱ）讨论 $g (x)$ 与 $g (\frac{1}{x})$ 的大小关系；

（Ⅲ）是否存在 $x_{0} > 0$ ，使得 $|g (x) - g (x_{0})| < \frac{1}{x}$ 对任意 $x > 0$ 成立？若存在，求出 $x_{0}$ 的取值范围；若不存在请说明理由。

如图，A地到火车站共有两条路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间（分钟）	$10 ~ 20$	$20 ~ 30$	$30 ~ 40$	$40 ~ 50$	$50 ~ 60$
$L_{1}$ 的频率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
$L_{2}$ 的频率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用 $X$ 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求 $X$ 的分布列和数学期望。

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