在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活-优题课

在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．
（1）第一小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B'处（如图2），这样能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少吗？请写出求解过程．

（2）第二小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图4．已知AH＝AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．

（3）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:
如图5，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，
请利用图形变换探究S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'与的大小关系．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：面积及等积变换

某校4月份八年级的生物实验考查，有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验．小明、小丽都参加了本次考查．

（1）小丽参加实验 $A$ 考查的概率是　　；

（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验 $A$ 考查的概率．

某市教育局组织全市中小学教师开展“请千家”活动．活动过程中，教有局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）请把这幅条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）；

（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访　　次；

（3）若该市有12000名教师，则近两周家访不少于3次的教师约有　　人．

如图，已知五边形 $ABCDE$ 是正五边形，连接 $AC$ 、 $AD$ ．证明： $∠ ACD = ∠ ADC$ ．

平面直角坐标系 $xOy$ 中，横坐标为 $a$ 的点 $A$ 在反比例函数 $y_{1} = = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $A'$ 与点 $A$ 关于点 $O$ 对称，一次函数 $y_{2} = mx + n$ 的图象经过点 $A'$ ．

（1）设 $a = 2$ ，点 $B (4, 2)$ 在函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的图象上．

①分别求函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的表达式；

②直接写出使 $y_{1} > y_{2} > 0$ 成立的 $x$ 的范围；

（2）如图①，设函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的图象相交于点 $B$ ，点 $B$ 的横坐标为 $3 a$ ，△ $A A^{'} B$ 的面积为16，求 $k$ 的值；

（3）设 $m = \frac{1}{2}$ ，如图②，过点 $A$ 作 $AD ⊥ x$ 轴，与函数 $y_{2}$ 的图象相交于点 $D$ ，以 $AD$ 为一边向右侧作正方形 $ADEF$ ，试说明函数 $y_{2}$ 的图象与线段 $EF$ 的交点 $P$ 一定在函数 $y_{1}$ 的图象上．

对给定的一张矩形纸片 $ABCD$ 进行如下操作：先沿 $CE$ 折叠，使点 $B$ 落在 $CD$ 边上（如图① $)$ ，再沿 $CH$ 折叠，这时发现点 $E$ 恰好与点 $D$ 重合（如图② $)$

（1）根据以上操作和发现，求 $\frac{CD}{AD}$ 的值；

（2）将该矩形纸片展开．

①如图③，折叠该矩形纸片，使点 $C$ 与点 $H$ 重合，折痕与 $AB$ 相交于点 $P$ ，再将该矩形纸片展开．求证： $∠ HPC = 90 °$ ；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的 $P$ 点，要求只有一条折痕，且点 $P$ 在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）