甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解-优题课

题文

甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：

乙校：

(1)计算，的值；
(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；
(3)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.

	甲校	乙校	总计
优秀
非优秀
总计

参考数据与公式：
由列联表中数据计算
临界值表

0.10

0.05

0.010

科目数学题型解答题难度较易

知识点：误差估计

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已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{1}{3} x - \frac{π}{6}), x \in R$ .

(1)求 $f (\frac{5 π}{4})$ 的值;

(2)设 $α, β \in [0, \frac{π}{2}], f (3 α + \frac{π}{2}) = \frac{10}{13}, f (3 β + 2 π) = \frac{6}{5}$ ，求 $\cos (α + β)$ 的值.

（Ⅰ）设函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \frac{2 x}{x + 2}$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$

（Ⅱ）从编号 $1$ 到 $100$ 的 $100$ 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 $20$ 次，设抽到的 $20$ 个号码互不相同的概率为 $p$ ，证明： $p < {(\frac{9}{10})}^{19} < \frac{1}{e^{2}}$

已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为椭圆 $C : x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点，过 $F$ 且斜率为 $- \sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与交 $C$ 于 $A, B$ 两点，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{0}$ .

（Ⅰ）证明：点 $P$ 在 $C$ 上；

（Ⅱ）设点 $P$ 关于点 $O$ 的对称点为 $Q$ ，证明： $A, P, B, Q$ 四点在同一个圆上.

设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 0$ , $\frac{1}{1 - a_{n + 1}} - \frac{1}{1 - a_{n}} = 1$

（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{1 - \sqrt{a_{n + 1}}}{\sqrt{n}}$ ，记 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ ，证明： $S_{n} < 1$ .

如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B ∥ C D, B C ⊥ C D$ ,侧面 $S A B$ 为等边三角形， $A B = B C = 2$ ， $C D = S D = 2$

（Ⅰ）证明： $S D ⊥ 平面 S A B$ ;
（Ⅱ）求 $A B$ 与平面 $S B C$ 所成的角的大小。

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