(15分)随着现代科学技术的飞速发展，广寒宫中的嫦娥不再寂寞-优题课

石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖。用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建"太空电梯"的梦想有望在本世纪实现。科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换。

（1）若"太空电梯"将货物从赤道基站运到距地面高度为 $h_{1}$ 的同步轨道站，求轨道站内质量为 $m_{1}$ 的货物相对地心运动的动能。设地球自转角速度为 $ω$ ，地球半径为 $R$ 。
（2）当电梯仓停在距地面高度 $h_{2} = 4 R$ 的站点时，求仓内质量 $m_{2} = 50 k g$ 的人对水平地板的压力大小。取地面附近重力加速度 $g = 10 m / s^{2}$ ，地球自转角速度 $ω = 7.3 \times 10^{- 5} r a d / s$ ，地球半径 $R = 6.4 \times 10^{3} k m$ 。

如图，光滑水平直轨道上两滑块 $A$ 、 $B$ 用橡皮筋连接， $A$ 的质量为 $m$ ，开始时橡皮筋松弛， $B$ 静止，给 $A$ 向左的初速度 $v_{0}$ ，一段时间后， $B$ 与 $A$ 同向运动发生碰撞并粘在一起，碰撞后的共同速度是碰撞前瞬间 $A$ 的速度的两倍，也是碰撞前瞬间 $B$ 的速度的一半。求：

（i） $B$ 的质量；
（ii）碰撞过程中 $A$ 、 $B$ 系统机械能的损失。

如图所示，三角形 $A B C$ 为某透明介质的横截面， $O$ 为 $B C$ 边的中点，位于截面所在平面内的一束光线自 $O$ 以角度 $i$ 入射，第一次到达 $A B$ 边恰好发生全反射。已知 $θ = 15^{0}$ ， $B C$ 边长为 $2 L$ ，该介质的折射率为 $\sqrt{2}$ 。求：

（i）入射角 $i$

（ii）从入射到发生第一次全反射所用的时间（设光在真空中的速度为 $c$ ，可能用到： $\sin (75^{0}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 或 $\tan (15^{0}) = 2 - \sqrt{3}$ ）。

一种水下重物打捞方法的工作原理如图所示。将一质量 $M = 3 \times 10^{3} k g$ 、体积 $V_{0} = 0.5 m^{3}$ 的重物捆绑在开口朝下的浮筒上。向浮筒内冲入一定质量的气体，开始时筒内液面到水面的距离 $h_{1} = 40 m$ ，筒内气体体积 $V_{1} = 1 m^{3}$ 。在拉力作用下浮筒缓慢上升，当筒内液面的距离为 $h_{2}$ 时，拉力减为零，此时气体体积为 $V_{2}$ ，随后浮筒和重物自动上浮。求 $V_{2}$ 和 $h_{2}$ 。

已知:大气压强 $P_{0} = 1 \times 10^{5} P_{a}$ ，水的密度 $ρ = 1 \times 10^{3} k g / m^{3}$ ，重力加速度的大小 $g = 10 m / s^{2}$ 。不计水温变化，筒内气体质量不变且可视为理想气体，浮筒质量和筒壁厚度可忽略。

如图甲所示，间距为 $d$ 、垂直于纸面的两平行板 $P$ 、 $Q$ 间存在匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。 $t = 0$ 时刻，一质量为 $m$ 、带电荷量为 $+ q$ 的粒子（不计重力），以初速度 $v_{0}$ 由 $Q$ 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当 $B_{0}$ 和 $T_{B}$ 取某些特定值时，可使 $t = 0$ 时刻入射的粒子经 $Δ t$ 时间恰能垂直打在 $P$ 板上（不考虑粒子反弹）。上述 $m$ 、 $q$ 、 $d$ 、 $v_{0}$ 为已知量。

（1）若 $Δ t = \frac{1}{2} T_{B}$ ，求 $B_{0}$ ；
（2）若 $Δ t = \frac{3}{2} T_{B}$ ，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
（3）若 $B_{0} = \frac{4 m v_{0}}{q d}$ ，为使粒子仍能垂直打在 $P$ 板上，求 $T_{B}$ 。