解方程（5分×210分）（1）（2）-优题课

已知二次函数图象的顶点坐标为 $A （ 1 ， 4 ）$ ，且与x轴交于点 $B （ ﹣ 1 ， 0 ）$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点 $P （ m ， 0 ）$ 旋转 $180 °$ ，此时点A、B的对应点分别为点C、D．

①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；

②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，平行四边形ABCD中， $A B ＝ 5 ， B C ＝ 10$ ，BC边上的高 $A M ＝ 4$ ，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．

（1）求证： $△ A B M ∽ △ E B F$ ；

（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；

（3）设 $B E ＝ x$ ，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东 $15 °$ 方向上，他沿西北方向前进 $100 \sqrt{3}$ 米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西 $60 °$ 方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）

（1）求点D与点A的距离；

（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）

如图，一次函数 $y_{1} ＝ k x + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{6}{x}$ 的图象交于点 $A （ 1 ， m ）$ 和点 $B （ n ， ﹣ 2 ）$ ．

（1）求一次函数的表达式；

（2）结合图象，写出当 $x ＞ 0$ 时，满足 $y_{1} ＞ y_{2}$ 的 $x$ 的取值范围；

（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．

如图，在△ABC中 $（ A B ＜ B C ）$ ，过点C作 $C D ∥ A B$ ，在CD上截取 $C D ＝ C B$ ，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．

（1）求证： $△ A B C ≌ △ E C D$ ；

（2）若 $∠ A ＝ 90 °$ ， $A B ＝ 3$ ， $B D ＝ 2 \sqrt{5}$ ，求△BCD的面积．