已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切-优题课

题文

已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．　　　
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；
（3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

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设 $f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 的导数为 $f ` (x)$ ，若函数 $y = f ` (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{1}{2}$ 对称，且 $f ` (1) = 0$ .
（Ⅰ）求实数 $a, b$ 的值
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的极值．

设函数 $f (x) = \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos (x + π) \cos x$ $(x \in R)$ .

（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）若函数 $y = f (x)$ 的图象按 $\overset{⇀}{b} = (\frac{π}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 平移后得到的函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{4}]$ 上的最大值．

某市公租房的房源位于 $A, B, C$ 个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的4位申请人中：
（I）没有人申请 $A$ 片区房源的概率；
（II）每个片区的房源都有人申请的概率．

设 ${a_{n}}$ 是公比为正数的等比数列 $a_{1} = 2, a_{3} = a_{2} + 4$ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 ${b_{n}}$ 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 满足 ${b_{n}}_{+ 1} a_{n} + b_{n} a_{n + 1} = {(- 2)}^{n} + 1, b_{n} = \frac{3 + {(- 1)}^{n - 1}}{2}, n \in N *, 且 a_{1} = 2 ．$

（1）求 $a_{2}, a_{3}$ 的值
（2）设 $c_{n} = a_{2 n + 1} ﹣ a_{2 n - 1}, n \in N^{*}$ ,证明 $\{c_{n}\}$ 是等比数列
（3）设 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和,证明 $\frac{S_{1}}{a_{1}} + \frac{S_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{S_{2 n - 1}}{a_{2 n - 1}} + \frac{S_{2 n}}{a_{2 n}} ⩽ n - \frac{1}{3} (n \in N^{*})$

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