当为何值时，方程组的解是正数？-优题课

如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道 $AB$ ．无人机从点 $A$ 的正上方点 $C$ ，沿正东方向以 $8 m / s$ 的速度飞行 $15 s$ 到达点 $D$ ，测得 $A$ 的俯角为 $60 °$ ，然后以同样的速度沿正东方向又飞行 $50 s$ 到达点 $E$ ，测得点 $B$ 的俯角为 $37 °$ ．

（1）求无人机的高度 $AC$ （结果保留根号）；

（2）求 $AB$ 的长度（结果精确到 $1 m)$ ．

（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元．

（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？

（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？

为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有： $A$ ．回顾重要事件； $B$ ．列举革命先烈； $C$ ．讲述英雄故事； $D$ ．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）本次被调查的学生共有　　名；

（2）在扇形统计图中" $B$ 项目"所对应的扇形圆心角的度数为　　，并把条形统计图补充完整；

（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．

先化简，再求值： $\frac{6 a}{a^{2} - 9} \div (1 + \frac{2 a - 3}{a + 3})$ ，其中 $a = 2 \sin 30 ° + 3$ ．

课本再现

（1）在证明"三角形内角和定理"时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与 $∠ A$ 相等的角是　　；

类比迁移

（2）如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ABC$ 与 $∠ ADC$ 互余，小明发现四边形 $ABCD$ 中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作 $∠ CDF = ∠ ABC$ ，再过点 $C$ 作 $CE ⊥ DF$ 于点 $E$ ，连接 $AE$ ，发现 $AD$ ， $DE$ ， $AE$ 之间的数量关系是　　；

方法运用

（3）如图3，在四边形 $ABCD$ 中，连接 $AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $O$ 是 $ΔACD$ 两边垂直平分线的交点，连接 $OA$ ， $∠ OAC = ∠ ABC$ ．

①求证： $∠ ABC + ∠ ADC = 90 °$ ；

②连接 $BD$ ，如图4，已知 $AD = m$ ， $DC = n$ ， $\frac{AB}{AC} = 2$ ，求 $BD$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）．