先化简：并任选一个你喜欢的数a代入求值．-优题课

如图，在矩形 $ABCD$ 中，分别取 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 的中点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，连接 $EF$ ， $FG$ ， $GH$ ， $HE$ ，求证：四边形 $EFGH$ 是菱形．

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - 5 \sqrt{3} x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴相交于不同的两点 $A (x_{1}$ ， $0)$ ， $B (x_{2}$ ， $0)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，

（1）若抛物线的对称轴为 $x = \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值；

（2）若 $a = 15$ ，求 $c$ 的取值范围；

（3）若该抛物线与 $y$ 轴相交于点 $D$ ，连接 $BD$ ，且 $∠ OBD = 60 °$ ，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $E$ ，点 $F$ 是直线 $l$ 上的一点，点 $F$ 的纵坐标为 $3 + \frac{1}{2 a}$ ，连接 $AF$ ，满足 $∠ ADB = ∠ AFE$ ，求该二次函数的解析式．

如图，已知 $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AB = 8$ ，点 $C$ 和点 $D$ 是 $⊙ O$ 上关于直线 $AB$ 对称的两个点，连接 $OC$ 、 $AC$ ，且 $∠ BOC < 90 °$ ，直线 $BC$ 和直线 $AD$ 相交于点 $E$ ，过点 $C$ 作直线 $CG$ 与线段 $AB$ 的延长线相交于点 $F$ ，与直线 $AD$ 相交于点 $G$ ，且 $∠ GAF = ∠ GCE$ ．

（1）求证：直线 $CG$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）若点 $H$ 为线段 $OB$ 上一点，连接 $CH$ ，满足 $CB = CH$ ，

① $ΔCBH ∽ ΔOBC$ ；

②求 $OH + HC$ 的最大值．

如图已知函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象与一次函数 $y = mx + 5 (m < 0)$ 的图象相交不同的点 $A$ 、 $B$ ，过点 $A$ 作 $AD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $AO$ ，其中点 $A$ 的横坐标为 $x_{0}$ ， $ΔAOD$ 的面积为2．

（1）求 $k$ 的值及 $x_{0} = 4$ 时 $m$ 的值；

（2）记 $[]$ 表示为不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[1.4] = 1$ ， $[2] = 2$ ，设 $t = OD \cdot DC$ ，若 $- \frac{3}{2} < m < - \frac{5}{4}$ ，求 $[m^{2} \cdot t]$ 值．

如图，在 $Rt Δ ABM$ 和 $Rt Δ ADN$ 的斜边分别为正方形的边 $AB$ 和 $AD$ ，其中 $AM = AN$ ．

（1）求证： $Rt Δ ABM ≅ Rt Δ AND$ ；

（2）线段 $MN$ 与线段 $AD$ 相交于 $T$ ，若 $AT = \frac{1}{4} AD$ ，求 $\tan ∠ ABM$ 的值．