函数，①求函数的定义域；②求的值；-优题课

题文

函数，
①求函数的定义域； ②求的值；

科目数学题型解答题难度较易

知识点：平面向量的数量积高阶矩阵与特征向量

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已知函数 $f (x) = x - a e^{x} (a \in R), x \in R$ ．已知函数 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．
（1）求 $a$ 的取值范围；
（2）证明 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 随着 $a$ 的减小而增大；
（3）证明 $x_{1} + x_{2}$ 随着 $a$ 的减小而增大．

已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于1的自然数，设集合 $M = {0, 1, 2, \dots, q - 1}$ ，集合 $A = {x | x = x_{1} + x_{2} q + \dots + x_{n} q_{n} ﹣ 1 ， x_{i} \in M, i = 1, 2, \dots n}$ .

（Ⅰ）当 $q = 2, n = 3$ 时，用列举法表示集合 $A$ ；

（Ⅱ）设 $s, t \in A$ ， $s = a_{1} + a_{2} q + \dots + a_{n} q^{n ﹣ 1}, t = b_{1} + b_{2} q + \dots + b_{n} q^{n ﹣ 1}$ ，其中 $a_{i}, b_{i} \in M$ ， $i = 1, 2, . . ., n$ .证明：若 $a_{n} ＜ b_{n}$ ，则 $s < t$ .

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．已知 $|A B| = \frac{\sqrt{3}}{2} |F_{1} F_{2}|$ ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $P B$ 为直径的圆经过点 $F_{1}$ ，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切，求直线 $l$ 的斜率．

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥ 底面 A B C D, A D ⊥ A B, A B ∥ D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点．

（1）证明： $B E ⊥ D C$ ；
（2）求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；
（3）若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F \land A C$ ，求二面角 $F F - A B - P$ 的余弦值．

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设 $X$ 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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