计算：5＋－6×-优题课

解方程： $2 {(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$ ．

如图1， $AD$ 、 $BD$ 分别是 $ΔABC$ 的内角 $∠ BAC$ 、 $∠ ABC$ 的平分线，过点 $A$ 作 $AE ⊥ AD$ ，交 $BD$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ E = = \frac{1}{2} ∠ C$ ；

（2）如图2，如果 $AE = AB$ ，且 $BD : DE = 2 : 3$ ，求 $\cos ∠ ABC$ 的值；

（3）如果 $∠ ABC$ 是锐角，且 $ΔABC$ 与 $ΔADE$ 相似，求 $∠ ABC$ 的度数，并直接写出 $\frac{S_{ΔADE}}{S_{ΔABC}}$ 的值．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中（如图），已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ ，其顶点为 $A$ ．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点 $A$ 的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．

①试求抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 的“不动点”的坐标；

②平移抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ ，使所得新抛物线的顶点 $B$ 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ，且四边形 $OABC$ 是梯形，求新抛物线的表达式．

已知：如图， $AB$ 、 $AC$ 是 $⊙ O$ 的两条弦，且 $AB = AC$ ， $D$ 是 $AO$ 延长线上一点，联结 $BD$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，联结 $CD$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $BD = CD$ ；

（2）如果 $A B^{2} = AO \cdot AD$ ，求证：四边形 $ABDC$ 是菱形．

图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 $ABCD$ 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖 $ADE$ 可以绕点 $A$ 逆时针方向旋转，当旋转角为 $60 °$ 时，箱盖 $ADE$ 落在 $AD' E'$ 的位置（如图2所示）．已知 $AD = 90$ 厘米， $DE = 30$ 厘米， $EC = 40$ 厘米．

（1）求点 $D'$ 到 $BC$ 的距离；

（2）求 $E$ 、 $E'$ 两点的距离．