如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC-优题课

如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP= ，CQ=时，P、Q两点间的距离 (用含的代数式表示)．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

将抛物线 $C : y = {(x - 2)}^{2}$ 向下平移6个单位长度得到抛物线 $C_{1}$ ，再将抛物线 $C_{1}$ 向左平移2个单位长度得到抛物线 $C_{2}$ ．

（1）直接写出抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的解析式；

（2）如图（1），点 $A$ 在抛物线 $C_{1}$ （对称轴 $l$ 右侧）上，点 $B$ 在对称轴 $l$ 上， $ΔOAB$ 是以 $OB$ 为斜边的等腰直角三角形，求点 $A$ 的坐标；

（3）如图（2），直线 $y = kx (k \neq 0$ ， $k$ 为常数）与抛物线 $C_{2}$ 交于 $E$ ， $F$ 两点， $M$ 为线段 $EF$ 的中点；直线 $y = - \frac{4}{k} x$ 与抛物线 $C_{2}$ 交于 $G$ ， $H$ 两点， $N$ 为线段 $GH$ 的中点．求证：直线 $MN$ 经过一个定点．

问题背景如图（1），已知 $ΔABC ∽ ΔADE$ ，求证： $ΔABD ∽ ΔACE$ ；

尝试应用如图（2），在 $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 中， $∠ BAC = ∠ DAE = 90 °$ ， $∠ ABC = ∠ ADE = 30 °$ ， $AC$ 与 $DE$ 相交于点 $F$ ，点 $D$ 在 $BC$ 边上， $\frac{AD}{BD} = \sqrt{3}$ ，求 $\frac{DF}{CF}$ 的值；

拓展创新如图（3）， $D$ 是 $ΔABC$ 内一点， $∠ BAD = ∠ CBD = 30 °$ ， $∠ BDC = 90 °$ ， $AB = 4$ ， $AC = 2 \sqrt{3}$ ，直接写出 $AD$ 的长．

某公司分别在 $A$ ， $B$ 两城生产同种产品，共100件． $A$ 城生产产品的总成本 $y$ （万元）与产品数量 $x$ （件 $)$ 之间具有函数关系 $y = a x^{2} + bx$ ．当 $x = 10$ 时， $y = 400$ ；当 $x = 20$ 时， $y = 1000$ ． $B$ 城生产产品的每件成本为70万元．

（1）求 $a$ ， $b$ 的值；

（2）当 $A$ ， $B$ 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求 $A$ ， $B$ 两城各生产多少件？

（3）从 $A$ 城把该产品运往 $C$ ， $D$ 两地的费用分别为 $m$ 万元 $/$ 件和3万元 $/$ 件；从 $B$ 城把该产品运往 $C$ ， $D$ 两地的费用分别为1万元 $/$ 件和2万元 $/$ 件． $C$ 地需要90件， $D$ 地需要10件，在（2）的条件下，直接写出 $A$ ， $B$ 两城总运费的和的最小值（用含有 $m$ 的式子表示）．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AC$ 于点 $D$ ， $AE$ 与过点 $D$ 的切线互相垂直，垂足为 $E$ ．

（1）求证： $AD$ 平分 $∠ BAE$ ；

（2）若 $CD = DE$ ，求 $\sin ∠ BAC$ 的值．

在 $8 \times 5$ 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 $OABC$ 的顶点坐标分别为 $O (0, 0)$ ， $A (3, 4)$ ， $B (8, 4)$ ， $C (5, 0)$ ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：

（1）将线段 $CB$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ ，画出对应线段 $CD$ ；

（2）在线段 $AB$ 上画点 $E$ ，使 $∠ BCE = 45 °$ （保留画图过程的痕迹）；

（3）连接 $AC$ ，画点 $E$ 关于直线 $AC$ 的对称点 $F$ ，并简要说明画法．