（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知极坐标系的-优题课

题文

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系轴的正半轴重合．直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求两点间的距离．

科目数学题型解答题难度容易

知识点：参数方程

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设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} - k (\frac{2}{x} + \ln x)$ （ $k$ 为常数， $e = 2.71828 . . .$ 是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当 $k \leq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 内存在两个极值点，求 $k$ 的取值范围.

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为2,前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）令 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{4 n}{a_{n} a_{n - 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域 $A, B$ ，乙被划分为两个不相交的区域 $C, D$ .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在 $C$ 上记3分，在 $D$ 上记1分，其它情况记0分.对落点在 $A$ 上的来球，队员小明回球的落点在 $C$ 上的概率为 $\frac{1}{2}$ ，在 $D$ 上的概率为 $\frac{1}{3}$ ；对落点在 $B$ 上的来球，小明回球的落点在 $C$ 上的概率为 $\frac{1}{5}$ ，在 $D$ 上的概率为 $\frac{3}{5}$ .假设共有两次来球且落在 $A, B$ 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和 $ξ$ 的分布列与数学期望.

如图,在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,底面 $A B C D$ 是等腰梯形, $∠ D A B = 60^{°}, A B = 2 C D = 2, M$ 是线段 $A B$ 的中点.

（Ⅰ）求证: $C_{1} M ∥ A_{1} A D D_{1}$ ；
（Ⅱ）若 $C D_{1}$ 垂直于平面 $A B C D$ 且 $C D_{1} = \sqrt{3}$ ,求平面 $C_{1} D_{1} M$ 和平面 $A B C D$ 所成的角(锐角)的余弦值.

已知向量 $\overset{⇀}{a} = (m, \cos 2 x)$ ， $\overset{⇀}{b} = (\sin 2 x, n)$ ，设函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ ，且 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{π}{12}, \sqrt{3})$ 和点 $(\frac{2 π}{3}, - 2)$ .
（Ⅰ）求 $m, n$ 的值；
（Ⅱ）将 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $φ$ $(0 < φ < π)$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若 $y = g (x)$ 的图象上各最高点到点 $(0, 3)$ 的距离的最小值为 $1$ ，求 $y = g (x)$ 的单调增区间.

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