（本小题满分13分）已知椭圆
的中心在原点
，焦点
，
在
轴上，经过点
，
,且抛物线
的焦点为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 垂直于
的直线
与椭圆交于
,
两点，当以
为直径的圆
与
轴相切时，求直线的方程和圆的方程.
已知椭圆
：
的离心率为
，且过点
，设椭圆的右准线
与
轴的交点为
，椭圆的上顶点为
，直线
被以原点为圆心的圆
所截得的弦长为
．
⑴求椭圆的方程及圆的方程；
⑵若
是准线上纵坐标为
的点，求证：存在一个异于的点
，对于圆上任意一点
，有
为定值；且当在直线上运动时，点在一个定圆上．
如图，
为一个等腰三角形形状的空地，腰
的长为
（百米），底
的长为
（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路
（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为
和
．
⑴若小路一端
为
的中点，求此时小路的长度；
⑵求
的最小值．
在菱形
中，
，线段
的中点是
，现将
沿
折起到
的位置，使平面
和平面
垂直，线段
的中点是
．
⑴证明：直线
∥平面；
⑵判断平面
和平面是否垂直，并证明你的结论．
（本小题满分14分）
已知函数
的定义域为R, 且对于任意
R,存在正实数
,使得
都成立.
若
,求的取值范围；
当
时，数列
满足
，
.
证明：
；
令
，证明：
.
（本小题满分14分）
已知函数
满足
,对于任意
R都有
,且
,令
.
(1)求函数
的表达式；
(2)求函数
的单调区间；
研究函数在区间
上的零点个数.