（本小题满分12分）
某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.
（1）求出第4组的频率;
（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好” 的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？
（本小题15分）已知
，
是实数，方程
有两个实根
，
，数列
满足
，
，
(Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）；
(Ⅱ)若
，
，求的前
项和．
（本小题满分14分）设直线
（其中
，
为整数）与椭圆
交于不同两点
，
，与双曲线
交于不同两点
，
，问是否存在直线
，使得向量
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
（本小题满分14分）已知
.
（1）若
，函数
在其定义域内是增函数，求
的取值范围.
（2）在（1）的结论下，设
，求函数
的最小值；
（3）若的图象与
轴交于
，
中点为
，求证：
.
（本小题满分13分）直线
与椭圆
交于
，
两点，已知
，
，若
且椭圆的离心率
，又椭圆经过点
，
为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过椭圆的焦点
，（
为半焦距），求直线的斜率
的值；
（Ⅲ）试问：
的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
（本小题满分13分）已知数列
的前
项和为
，数列
满足
，
.
（1）求数列
的通项公式；（2）求数列的前项和
；
（3）是否存在非零实数
，使得数列
为等差数列，证明你的结论.