如图①，一条笔直的公路上有A、B、C三地，B、C两地相距15-优题课

如图①，一条笔直的公路上有A、B、C 三地，B、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离、（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图②所示．

根据图象进行以下探究：
（1）请在图①中标出 A地的位置，并作简要的文字说明；
（2）求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义；
（3）在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到 A地的距离与行驶时间x的函数关系式；
（4）A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

如图，抛物线 $y = m x^{2} - 16 mx + 48 m (m > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 $OD$ 、 $BD$ 、 $AC$ 、 $AD$ ，延长 $AD$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ．

（1）若 $ΔOAC$ 为等腰直角三角形，求 $m$ 的值；

（2）若对任意 $m > 0$ ， $C$ 、 $E$ 两点总关于原点对称，求点 $D$ 的坐标（用含 $m$ 的式子表示）；

（3）当点 $D$ 运动到某一位置时，恰好使得 $∠ ODB = ∠ OAD$ ，且点 $D$ 为线段 $AE$ 的中点，此时对于该抛物线上任意一点 $P (x_{0}$ ， $y_{0})$ 总有 $n + \frac{1}{6} ⩾ - 4 \sqrt{3} m y_{0}^{2} - 12 \sqrt{3} y_{0} - 50$ 成立，求实数 $n$ 的最小值．

若三个非零实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 构成“和谐三组数”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；

（2）若 $M (t, y_{1})$ ， $N (t + 1, y_{2})$ ， $R (t + 3, y_{3})$ 三点均在函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象上，且这三点的纵坐标 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 构成“和谐三组数”，求实数 $t$ 的值；

（3）若直线 $y = 2 bx + 2 c (bc \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1}$ ， $0)$ ，与抛物线 $y = a x^{2} + 3 bx + 3 c (a \neq 0)$ 交于 $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ ， $C (x_{3}$ ， $y_{3})$ 两点．

①求证： $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的横坐标 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 构成“和谐三组数”；

②若 $a > 2 b > 3 c$ ， $x_{2} = 1$ ，求点 $P (\frac{c}{a}$ ， $\frac{b}{a})$ 与原点 $O$ 的距离 $OP$ 的取值范围．

自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购 $A$ 型商品的件数是用7500元采购 $B$ 型商品的件数的2倍，一件 $A$ 型商品的进价比一件 $B$ 型商品的进价多10元．

（1）求一件 $A$ ， $B$ 型商品的进价分别为多少元？

（2）若该欧洲客商购进 $A$ ， $B$ 型商品共250件进行试销，其中 $A$ 型商品的件数不大于 $B$ 型的件数，且不小于80件．已知 $A$ 型商品的售价为240元 $/$ 件， $B$ 型商品的售价为220元 $/$ 件，且全部售出．设购进 $A$ 型商品 $m$ 件，求该客商销售这批商品的利润 $v$ 与 $m$ 之间的函数关系式，并写出 $m$ 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件 $A$ 型商品，就从一件 $A$ 型商品的利润中捐献慈善资金 $a$ 元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．

如图， $AB$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ， $OA$ ， $OB$ 分别交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $E$ ， $\hat{CD} = \hat{CE}$

（1）求证： $OA = OB$ ；

（2）已知 $AB = 4 \sqrt{3}$ ， $OA = 4$ ，求阴影部分的面积．

为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在 $A$ 处测得灯塔 $P$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，继续航行1小时到达 $B$ 处，此时测得灯塔 $P$ 在北偏东 $30 °$ 方向上．

（1）求 $∠ APB$ 的度数；

（2）已知在灯塔 $P$ 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？