（本小题满分12分）正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面-优题课

（本小题满分12分）
正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．

（1）求证：A₁C⊥面AEF；
（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角的正切值．

科目数学题型解答题难度容易

已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的半焦距为 $c$ ，原点 $O$ 到经过两点 $(c, 0), (0, b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2} c$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的离心率；
（Ⅱ）如图， $A B$ 是圆 $M : (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 $E$ 经过 $A, B$ 两点，求椭圆 $E$ 的方程．

设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 $T$ ， $T$ 只与道路畅通状况有关，对其容量为 $100$ 的样本进行统计，结果如下：

（Ⅰ）求 $T$ 的分布列与数学期望 $E T$ ；
（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ，是 $A D$ 的中点， $O$ 是 $A C$ 与 $B E$ 的交点．将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，如图．

（Ⅰ）证明： $C D ⊥$ 平面 $A_{1} O C$ ；
（Ⅱ）若平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} C D$ 夹角的余弦值．

$△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．向量 $\overset{⇀}{m} = (a, \sqrt{3} b)$ 与 $\overset{⇀}{n} = (\cos A, \sin B)$ 平行．
（Ⅰ）求 $A$ ；
（Ⅱ）若 $a = \sqrt{7}, b = 2$ 求 $△ A B C$ 的面积．

平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y 2^{}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且点（ $\sqrt{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ）在椭圆 $C$ 上.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4 a^{2}} + \frac{y^{2}}{4 b^{2}} = 1$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 的直线 $y = k x + m$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，射线 $P O$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$ .
（ⅰ）求 $\frac{|O Q|}{|O P|}$ 的值；
（ⅱ）求 $△ A B Q$ 面积的最大值.

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