(本小题满分8分)某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量-优题课

已知函数 $f (x) = a x^{2^{}} + 1$ ， $(a > 0)$ ， $g (x) = x^{3} + b x$ .

（1）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点 $(1, c)$ 处具有公共切线，求 $a, b$ 的值
（2）当 $a^{2^{}} = 4 b$ 时，若函数 $f (x) + g (x)$ 的单调区间，并求其在区间 $(- \infty, - 1)$ 上的最大值.

近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱。为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

	"厨余垃圾"箱	"可回收物"箱	"其他垃圾"箱
厨余垃圾	400	100	100
可回收物	30	240	30
其他垃圾	20	20	60

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率
（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率
（Ⅲ）假设厨余垃圾在"厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾"箱的投放量分别为 $a, b, c$ ,其中 $a > 0$ ， $a + b + c = 600$ .当数据 $a, b, c,$ 的方差 $s^{2}$ 最大时，写出 $a, b, c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^{2}$ 的值。
（注： $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x - x)}^{2} + {(x - x)}^{2} + \dots + {(x - x)}^{2}]$ ，其中 $x$ 为数据 $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}$ 的平均数）

如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 6$ ， $D, E$ 分别 $A C, A B$ 是上的点，且 $D E / / B C$ ， $D E = 2$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1_{}} C ⊥ C D$ ,如图2.
（1）求证： $A_{1_{}} C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；
（2）若 $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，求 $C M$ 与平面 $A_{1_{}} B E$ 所成角的大小；
（3）线段 $B C$ 上是否存在点 $P$ ，使平面 $A_{1} D P$ 与平面 $A_{1} B E$ 垂直？说明理由

已知函数 $f (x) = \frac{(\sin x - \cos x) \sin 2 x}{\sin x}$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的定义域及最小正周期
（Ⅱ）求 $f (x)$ 的单调递增区间。

已知各项均为正数的数列{}满足（），且是，的等差中项．
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）令=，是否存在正整数，使时，不等式恒成立，若存在，求的值；不存在，说明理由．