(本小题满分14分)已知函数（…是自然对数的底数）的最小值为-优题课

已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x + a, x < 0 \\ \ln (x), x > 0 \end{cases}$ ，其中 $a$ 是实数．设 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2}))$ 为该函数图象上的两点，且 $x_{1 <} x_{2}$ ．
（Ⅰ）指出函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线互相垂直，且 $x_{2} < 0$ ，证明： $x_{2} - x_{1} \geq 1$ ；
（Ⅲ）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围．

已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，点 $O$ 是坐标原点．直线 $l$ ： $y = k x$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．
（Ⅰ）求 $k$ 的取值范围；
（Ⅱ）设 $Q (m, n)$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{{|O Q|}^{2}} = \frac{1}{{|O M^{}|}^{2}} + \frac{1}{{|O N|}^{2}}$ ．请将 $n$ 表示为 $m$ 的函数．

如图，在三棱柱 $A B C ﹣ A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥ 底面 A B C$ ， $A B = A C = 2 A A_{1} = 2$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $A D$ 上异于端点的点．

（Ⅰ）在平面 $A B C$ 内，试作出过点P与平面 $A_{1} B C$ 平行的直线 $l$ ，说明理由，并证明直线 $l ⊥ 平面 A D D_{1} A$ ₁；
（Ⅱ）设(Ⅰ）中的直线 $l$ 交 $A C$ 于点 $Q$ ，求三棱锥 $A_{1} - Q C_{1} D$ 的体积．（锥体体积公式： $V = \frac{1}{3} S h$ ，其中S为底面面积，h为高）

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_{i}$ （ $i$ =1，2，3）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$ 的值为 $i$ （ $i$ =1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）

运行次数 $n$	输出 $y$ 的值为1的频数	输出 $y$ 的值为2的频数	输出 $y$ 的值为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的频数统计表（部分）

运行次数 $n$	输出 $y$ 的值为1的频数	输出 $y$ 的值为2的频数	输出 $y$ 的值为3的频数
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i$ （ $i$ =1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 且 $\cos (A - B) \cos B - \sin (A - B) \sin (A + C) = - \frac{3}{5}$ ．
（Ⅰ）求 $\sin A$ 的值；
（Ⅱ）若 $a = 4 \sqrt{2}, b = 5$ ，求向量 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影．