解方程：-优题课

如图，点 $M$ ， $N$ 分别在正三角形 $ABC$ 的 $BC$ ， $CA$ 边上，且 $BM = CN$ ， $AM$ ， $BN$ 交于点 $Q$ ．求证： $∠ BQM = 60 °$ ．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与直线 $y = \frac{1}{2} x - 3$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，其中点 $A$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 坐标为 $(- 4, - 5)$ ，点 $P$ 为 $y$ 轴左侧的抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，交 $AB$ 于点 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以 $O$ ， $A$ ， $P$ ， $D$ 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

（3）当点 $P$ 运动到直线 $AB$ 下方某一处时，过点 $P$ 作 $PM ⊥ AB$ ，垂足为 $M$ ，连接 $PA$ 使 $ΔPAM$ 为等腰直角三角形，请直接写出此时点 $P$ 的坐标．

如图，以 $ΔABC$ 的 $BC$ 边上一点 $O$ 为圆心，经过 $A$ ， $C$ 两点且与 $BC$ 边交于点 $E$ ，点 $D$ 为 $CE$ 的下半圆弧的中点，连接 $AD$ 交线段 $EO$ 于点 $F$ ，若 $AB = BF$ ．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $CF = 4$ ， $DF = \sqrt{10}$ ，求 $⊙ O$ 的半径 $r$ 及 $\sin B$ ．

在数学活动课上，老师要求学生在 $5 \times 5$ 的正方形 $ABCD$ 网格中（小正方形的边长为 $1)$ 画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与 $AB$ 或 $AD$ 都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．

如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5米，为了安全，现要做一个不锈钢扶手 $AB$ 及两根与 $FG$ 垂直且长为1米的不锈钢架杆 $AD$ 和 $BC$ （杆子的底端分别为 $D$ 、 $C)$ ，且 $∠ DAB = 66.5 °$ ．（参考数据： $\cos 66.5 ° \approx 0.40$ ， $\sin 66.5 ° \approx 0.92)$

（1）求点 $D$ 与点 $C$ 的高度差 $DH$ ；

（2）求所有不锈钢材料的总长度（即 $AD + AB + BC$ 的长，结果精确到0.1米）