已知等差数列满足：，，的前n项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn-优题课

已知集合 $S_{n} = {X | X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} ）, x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, . . ., n}$ , $(n \geq 2)$ 对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots a_{n},) ， B = (b_{1}, b_{2}, \dots b_{n},) \in S n$ ，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $A - B = (| a_{1} - b_{1} | ， | a_{2} - b_{2} | ， \dots | a_{n} - b_{n} | ）$ ；

$A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d (A, B) = \sum_{i = j}^{n} |a_{i} - b_{i}|$

（Ⅰ）证明： $\forall A, B, C \in S_{n}$ ，有 $A - B \in S_{n}$ ，且 $d (A - C, B - C) = d (A, B)$ ；

（Ⅱ）证明： $\forall A, B, C \in S_{n}$ ， $d (A, B), d (A, C), d (B, C)$ 三个数中至少有一个是偶数

（Ⅲ）设 $P \subseteq S n$ ,中有 $m (m \geq 2)$ 个元素，记 $P$ 中所有两元素间距离的平均值为 $\bar{d} (P)$ .证明： $\bar{d} (P) \leq \frac{m n}{2 (m - 1)}$ ．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $B$ 与点 $A (- 1, 1)$ 关于原点 $O$ 对称， $P$ 是动点，且直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积等于 $- \frac{1}{3}$ .
(Ⅰ)求动点 $P$ 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线 $A P$ 和 $B P$ 分别与直线 $x = 3$ 交于点 $M, N$ ，问：是否存在点 $P$ 使得 $△ P A B$ 与 $△ P M N$ 的面积相等？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - x + \frac{x}{2} x^{2} (k ⩾ 0)$ .
(Ⅰ)当 $k = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
(Ⅱ)求 $f (x)$ 的单调区间.

如图，正方形 $A B C D$ 和四边形 $A C E F$ 所在的平面互相垂直， $C E ⊥ A C, E F ∥ A C, A B = \sqrt{2}, C E = E F = 1$

（Ⅰ）求证： $A F ∥$ 平面 $B D E$ ；
（Ⅱ）求证： $C F ⊥$ 平面BDE；
（Ⅲ）求二面角 $A - B E - D$ 的大小.

已知函数 $f (x) = 2 \cos 2 x + \sin^{2} x - 4 \cos x$ .
（Ⅰ）求 $f = (\frac{π}{3})$ 的值；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 的最大值和最小值。