如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.(1)求证:面；-优题课

在平面直角坐标系中，点，，其中.
（1）当时，求向量的坐标；
（2）当时，求的最大值.

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为 $r$ 米，高为 $h$ 米，体积为 $V$ 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000 $π$ 元（π为圆周率）．
（1）将 $V$ 表示成 $r$ 的函数 $V (r)$ ，并求该函数的定义域；
（2）讨论函数 $V (r)$ 的单调性，并确定 $r$ 和 $h$ 为何值时该蓄水池的体积最大．

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = C D = 2$ ， $∠ A C B = ∠ A C D = \frac{π}{3}$ ．
（1）求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；
（2）若侧棱 $P C$ 上的点 $F$ 满足 $P F = 7 F C$ ，求三棱锥 $P - B D F$ 的体积．

在 $∆ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $a^{2} = b^{2} + c^{2} + \sqrt{3} b c$ ．
（1）求 $A$ ；
（2）设 $a = \sqrt{3}$ ， $S$ 为 $∆ A B C$ 的面积，求 $S + 3 \cos B \cos C$ 的最大值，并指出此时 $B$ 的最值．

从某居民区随机抽取10个家庭，获得第 $i$ 个家庭的月收入 $x_{i}$ （单位：千元）与月储蓄 $y_{i}$ （单位：千元）的数据资料，算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 80, \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 20, \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 184, \sum_{i = 1}^{10} {x_{i}}^{2} = 720$ .（1）求家庭的月储蓄 $y$ 对月收入 $x$ 的线性回归方程 $y = b x + a$ ；
（2）判断变量 $x$ 与 $y$ 之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程 $y = b x + a$ 中， $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n x \cdot y}{\sum_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{2} - n x^{2}}, a = y - b x$ ，其中 $x, y$ 为样本平均值，线性回归方程也可写为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ．