计算：．-优题课

我国传统的计重工具 $- -$ 秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 $x$ （厘米）时，秤钩所挂物重为 $y$ （斤 $)$ ，则 $y$ 是 $x$ 的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．

$x$ （厘米）	1	2	4	7	11	12
$y$ （斤 $)$	0.75	1.00	1.50	2.75	3.25	3.50

（1）在上表 $x$ ， $y$ 的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？

（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？

一只羽毛球的重量合格标准是5.0克 $~ 5.2$ 克（含5.0克，不含5.2克），某厂对4月份生产的羽毛球重量进行抽样检验，并将所得数据绘制成如图统计图表．

4月份生产的羽毛球重量统计表

（1）求表中 $m$ 的值及图中 $B$ 组扇形的圆心角的度数．

（2）问这些抽样检验的羽毛球中，合格率是多少？如果购得4月份生产的羽毛球10筒（每筒12只），估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只？

如图，点 $E$ 是 $▱ ABCD$ 的边 $CD$ 的中点，连结 $AE$ 并延长，交 $BC$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）若 $AD$ 的长为2，求 $CF$ 的长．

（2）若 $∠ BAF = 90 °$ ，试添加一个条件，并写出 $∠ F$ 的度数．

（1）计算： $\sqrt{8} - 4 \cos 45 ° + {(- 1)}^{2020}$ ．

（2）化简： ${(x + y)}^{2} - x (x + 2 y)$ ．

[性质探究]

如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $AE$ 平分 $∠ BAC$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ．作 $DF ⊥ AE$ 于点 $H$ ，分别交 $AB$ ， $AC$ 于点 $F$ ， $G$ ．

（1）判断 $ΔAFG$ 的形状并说明理由．

（2）求证： $BF = 2 OG$ ．

[迁移应用]

（3）记 $ΔDGO$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔDBF$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{AD}{AB}$ 的值．

[拓展延伸]

（4）若 $DF$ 交射线 $AB$ 于点 $F$ ，[性质探究]中的其余条件不变，连结 $EF$ ，当 $ΔBEF$ 的面积为矩形 $ABCD$ 面积的 $\frac{1}{10}$ 时，请直接写出 $\tan ∠ BAE$ 的值．