如图,已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(
+1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明:k1·k2=1;
(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分14分)
对于函数,若存在
,使
成立,则称
为
的一个不动点.
设函数(
).
(Ⅰ)当,
时,求
的不动点;
(Ⅱ)若有两个相异的不动点
.
(i)当时,设
的对称轴为直线
,求证:
;
(ii)若,且
,求实数
的取值范围.
(本小题满分15分)
设数列满足
.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)设,
,求证:数列
中
最小.
(本小题满分15分)
设抛物线:
的焦点为
,过
且斜率为
的直线
交抛物线
于
,
两
点,且.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)已知点,且
的面积为
,求
的值.
(本小题满分15分)
已知椭圆:
(
)的一个焦点为
,且
上一点到其两焦点的距离之和为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于不同两点
,若点
满足
,求实数
的值.
(本小题满分15分)
等差数列中,
,
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列
的前
项和
.