如图，自来水公司的主管道从A小区向北偏东60°方向直线延伸，-优题课

如图，在直角坐标系中有 $Rt Δ AOB$ ， $O$ 为坐标原点， $OB = 1$ ， $\tan ∠ ABO = 3$ ，将此三角形绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $Rt Δ COD$ ，二次函数 $y = - x^{2} + bx + c$ 的图象刚好经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点 $P$ 的坐标；

（2）过定点 $Q$ 的直线 $l : y = kx - k + 3$ 与二次函数图象相交于 $M$ ， $N$ 两点．

①若 $S_{ΔPMN} = 2$ ，求 $k$ 的值；

②证明：无论 $k$ 为何值， $ΔPMN$ 恒为直角三角形；

③当直线 $l$ 绕着定点 $Q$ 旋转时， $ΔPMN$ 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

如图， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 是 $⊙ O$ 上的5等分点，连接 $AC$ 、 $CE$ 、 $EB$ 、 $BD$ 、 $DA$ ，得到一个五角星图形和五边形 $MNFGH$ ．

（1）计算 $∠ CAD$ 的度数；

（2）连接 $AE$ ，证明： $AE = ME$ ；

（3）求证： $M E^{2} = BM \cdot BE$ ．

某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：

次数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
王方	7	10	9	8	6	9	9	7	10	10
李明	8	9	8	9	8	8	9	8	10	8

（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：

王方10次射箭得分情况

环数	6	7	8	9	10
频数
频率

李明10次射箭得分情况

环数	6	7	8	9	10
频数
频率

（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；

（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．

如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸 $B$ 处测得对岸 $A$ 处一棵柳树位于北偏东 $60 °$ 方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达 $C$ 处，此时测得柳树位于北偏东 $30 °$ 方向，试计算此段河面的宽度．

已知：如图，在 $▱ ABCD$ 中， $AE ⊥ BC$ ， $CF ⊥ AD$ ， $E$ ， $F$ 分别为垂足．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）求证：四边形 $AECF$ 是矩形．