如图，已知A(4，2)、B(n，4)是一次函数的图象与反比例-优题课

为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．

学生选修课程统计表

课程	人数	所占百分比
声乐	14	$b %$
舞蹈	8	$16 %$
书法	16	$32 %$
摄影	$a$	$24 %$
合计	$m$	$100 %$

根据以上信息，解答下列问题：

（1） $m =$ 　　， $b =$ 　　．

（2）求出 $a$ 的值并补全条形统计图．

（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．

（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．

已知：在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为边作 $ΔAEB$ 与 $ΔAFC$ ．

（1）如图1， $ΔAEB$ 与 $ΔAFC$ 分别是以 $AB$ ， $AC$ 为斜边的等腰直角三角形，连接 $EF$ ．以 $EF$ 为直角边构造 $Rt Δ EFG$ ，且 $EF = FG$ ，连接 $BG$ ， $CG$ ， $EC$ ．

求证：① $ΔAEF ≅ ΔCGF$ ．

②四边形 $BGCE$ 是平行四边形．

（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：

如图2，在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为斜边作 $Rt Δ AEB$ 与 $Rt Δ AFC$ ，并使 $∠ FAC = ∠ EAB = 30 °$ ，取 $BC$ 的中点 $D$ ，连接 $DE$ ， $EF$ 后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出 $\frac{ED}{EF}$ 的值及 $∠ DEF$ 的度数．

（3）小颖受到启发也做了探究：

如图3，在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为底边作等腰三角形 $AEB$ 和等腰三角形 $AFC$ ，并使 $∠ CAF + ∠ EAB = 90 °$ ，取 $BC$ 的中点 $D$ ，连接 $DE$ ， $EF$ 后发现，当给定 $∠ EAB = α$ 时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若 $AE = m$ ， $AB = n$ ，请你帮助小颖用含 $m$ ， $n$ 的代数式直接写出 $\frac{ED}{EF}$ 的值，并用含 $α$ 的代数式直接表示 $∠ DEF$ 的度数．

某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为 $x$ 元，平均月销售量为 $y$ 件．

（1）求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？

（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？

如图，在某街道路边有相距 $10 m$ 、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面 $A$ 处测得路灯 $PQ$ 的顶端仰角为 $14 °$ ，向前行走 $25 m$ 到达 $B$ 处，在地面测得路灯 $MN$ 的顶端仰角为 $24.3 °$ ，已知点 $A$ ， $B$ ， $Q$ ， $N$ 在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 14 ° \approx 0.24$ ， $\cos 14 ° \approx 0.97$ ， $\tan 14 ° \approx 0.25$ ， $\sin 24.3 ° \approx 0.41$ ， $\cos 24.3 ° \approx 0.91$ ， $\tan 24.3 ° \approx 0.45)$

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 在 $AB$ 上，以 $AD$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $BC$ 相切于点 $E$ ，与边 $AC$ 相交于点 $G$ ，且 $\hat{AG} = \hat{EG}$ ，连接 $GO$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $BF$ ．

（1）求证：

① $AO = AG$ ．

② $BF$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $BD = 6$ ，求图形中阴影部分的面积．