选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在梯形中，∥-优题课

[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，在梯形中，∥BC，点，分别在边，上，设与相交于点，若，，，四点共圆，求证：．

科目数学题型解答题难度较易

正实数数列 ${a_{n}}$ 中, $a_{1} = 1, a_{2} = 5$ ,且 ${{a_{n}}^{2}}$ 成等差数列.
(1) 证明数列 ${a_{n}}$ 中有无穷多项为无理数；
(2)当 $n$ 为何值时， $a_{n}$ 为整数，并求出使 $a_{n} < 200$ 的所有整数项的和.

已知抛物线 $C_{1} : x^{2} + b y = b^{2}$ 经过椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点.

(1) 求椭圆 $C_{2}$ 的离心率；
(2) 设 $Q (3, b)$ ，又 $M, N$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 不在 $y$ 轴上的两个交点，若 $△ Q M N$ 的重心在抛物线 $C_{1}$ 上，求 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程.

如图， $△ B C D$ 与 $△ M C D$ 都是边长为2的正三角形，平面 $M C D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$

（1）求直线 $A M$ 与平面 $B C D$ 所成的角的大小；
（2）求平面 $A C M$ 与平面 $B C D$ 所成的二面角的正弦值.

已知函数 $f (x) = (1 + c o t x) \sin^{2} x - 2 \sin (x + \frac{π}{4}) \sin (x - \frac{π}{4})$ .
（1）若 $\tan α = 2$ ，求 $f (α)$ ；
（2）若 $x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的取值范围.

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.
(1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；
(2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.

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