如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴-优题课

题文

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，
OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交
于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件
的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成
为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.

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设 $n$ 是正整数， $r$ 为正有理数．
（1）求函数 $f (x) = {(1 + x)}^{r + 1} - (r + 1) x - 1 (x > - 1)$ 的最小值；
（2）证明： $\frac{n^{r + 1} - {(n - 1)}^{r + 1}}{r + 1} < n^{r} < \frac{{(n + 1)}^{r + 1} - n^{r + 1}}{r + 1}$ ；
（3）设 $x \in R$ ，记 $[x]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $[2] = 2, [π] = 4, [- \frac{3}{2}] = - 1$ ．令 $S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + \dots + \sqrt[3]{125} ，求 S$ 的值．
（参考数据： $80^{\frac{4}{3}} \approx 344.7, 81^{\frac{4}{3}} \approx 350.5 ， 124^{\frac{4}{3}} \approx 618.3 ， 126^{\frac{4}{3}} \approx 631.7$ ．

如图，已知椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的中心在坐标原点 $O$ ，长轴均为 $M N$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2 m, 2 n (m > n)$ ，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线l $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$ ，记 $λ = \frac{π}{n}$ ， $∆ B D M$ 和 $∆ A B N$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．
（1）当直线 $l 与 y$ 轴重合时，若 $S_{1} = λ S_{2}$ ，求 $λ$ 的值；
（2）当 $λ$ 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 $l$ ，使得 $S_{1} = λ S_{2}$ ？并说明理由．

假设每天从甲地去乙地的旅客人数 $X$ 是服从正态分布 $N$ （800，50²）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 $p_{0}$ ．
（1）求 $p_{0}$ 的值；
（参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，有 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826, P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ , $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ ．
（2）某客运公司用 $A, B$ 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， $A, B$ 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求 $B$ 型车不多于 $A$ 型车7辆．若每天要以不小于 $p_{0}$ 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 $A$ 型车、 $B$ 型车各多少辆？

如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A, B$ 的点，直线 $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E, F$ 分别是 $P A, P C$ 的中点．
（1）记平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为 $l$ ，试判断直线l与平面 $P A C$ 的位置关系，并加以证明；

（2）设（1）中的直线 $l$ 与圆 $O$ 的另一个交点为 $D$ ，且点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = \frac{1}{2} \vec{C P}$ ．记直线 $P Q$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $θ$ ，异面直线与 $E F$ 所成的角为 $α$ ，二面角 $E - l - C$ 的大小为 $β$ ．求证： $\sin θ = \sin α \sin β$ ．

已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $|a_{2} - a_{3}| = 10, a_{1} a_{2} a_{3} = 125$ ．
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）是否存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{m}} \geq 1$ ？若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由．

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