（本小题满分12分）某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为
，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为
，
(＞)，且不同种产品是否受欢迎相互独立。记
为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为
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0 |
1 |
2 |
3 |
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(1)求该公司至少有一种产品受欢迎的概率；
(2)求，的值；
(3)求数学期望
。
（本小题满分12分）设
，且
满足
（1）求
的值．（2）求
的值．
已知函数
.(
为常数)
（1）当
时，求函数
的最小值；
（2）求函数在
上的最值；
（3）试证明对任意的
都有
已知椭圆
的离心率为
，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
（1）试求椭圆
的方程；
（2）若斜率为
的直线
与椭圆交于
、
两点，点
为椭圆上一点，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，试问：
是否为定值？请证明你的结论
某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.
的单调性；
和
，记过点
的直线的斜率为
，问：是否存在
，使得
若存在，求出