为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为
．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99．5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．
下面的临界值表供参考：
（参考公式：
，其中
）
（本小题满分13分）已知函数
在
处取得极值．
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）若关于
的方程
在区间
上恰有两个不同的实数根,求实数
的取值范围；
（Ⅲ）证明:对任意的正整数
,不等式
都成立．
（本小题满分13分） 已知椭圆E中心在原点，一个焦点为
，离心率
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）
是长为
的椭圆E动弦，
为坐标原点，求
面积的最大值与最小值
（本小题满分13分） 某生产流水线由于改进了设备，预计改进后第一年年产量的增长率为
，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量是
（Ⅰ） 写出改进设备后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第
年与第
年的产量之间的关系式
；
（Ⅱ） 由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的
，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少？
（本小题满分12分）已知
分别在射线
（不含端点
）上运动，
，在
中，角
、
、所对的边分别是
、
、
．
（Ⅰ）若、、依次成等差数列，且公差为2．求的值；
（Ⅱ）若
，
，试用
表示的周长，并求周长的最大值．
