如图，有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的八-优题课

如图，有四条互相不平行的直线L₁、L₂、L₃、L₄所截出的八个角．请你任意选择其中的三个角（不可选择未标注的角），尝试找到它们的关系，并选择其中一组予以证明．

科目数学题型解答题难度中等

在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系 $xOy$ ， $ΔABC$ 的顶点都在格点上，请解答下列问题：

（1）将 $ΔABC$ 向下平移5个单位长度，画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）若点 $M$ 是 $ΔABC$ 内一点，其坐标为 $(a, b)$ ，点 $M$ 在△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的对应点为 $M_{1}$ ，则点 $M_{1}$ 的坐标为　　；

（3）画出 $ΔABC$ 关于点 $O$ 的中心对称图形△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $x$ 轴上， $AB$ 、 $BC$ 的长分别是一元二次方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两个根 $(BC > AB)$ ， $OA = 2 OB$ ，边 $CD$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，动点 $P$ 以每秒1个单位长度的速度，从点 $E$ 出发沿折线段 $ED - DA$ 向点 $A$ 运动，运动的时间为 $t (0 ⩽ t < 6)$ 秒，设 $ΔBOP$ 与矩形 $AOED$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

（1）求点 $D$ 的坐标；

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点 $P$ 的运动过程中，是否存在点 $P$ ，使 $ΔBEP$ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．

（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？

（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具 $x$ 个，求有多少种购买方案？

（3）设学校投入资金 $W$ 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = BC$ ， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ， $BE ⊥ AC$ 于点 $E$ ， $AD$ 与 $BE$ 交于点 $F$ ， $BH ⊥ AB$ 于点 $B$ ，点 $M$ 是 $BC$ 的中点，连接 $FM$ 并延长交 $BH$ 于点 $H$ ．

（1）如图①所示，若 $∠ ABC = 30 °$ ，求证： $DF + BH = \frac{\sqrt{3}}{3} BD$ ；

（2）如图②所示，若 $∠ ABC = 45 °$ ，如图③所示，若 $∠ ABC = 60 °$ （点 $M$ 与点 $D$ 重合），猜想线段 $DF$ 、 $BH$ 与 $BD$ 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程 $y$ （米 $)$ 与小强所用时间 $x$ （分钟）之间的函数图象如图所示．

（1）求函数图象中 $a$ 的值；

（2）求小强的速度；

（3）求线段 $AB$ 的函数解析式，并写出自变量的取值范围．