水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有-优题课

水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见右表：

（1）2012年，王大爷养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩．求王大爷这一年共收益多少万元？（收益＝销售额－成本）
（2）2013年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2012年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？
（3）已知甲鱼每亩需要饲料500kg，桂鱼每亩需要饲料700kg．根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg?

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德 $\cdot$ 欧拉 $(LeonhardEuler)$ 是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在 $ΔABC$ 中， $R$ 和 $r$ 分别为外接圆和内切圆的半径， $O$ 和 $I$ 分别为其中外心和内心，则 $O I^{2} = R^{2} - 2 Rr$ ．

如图1， $⊙ O$ 和 $⊙ I$ 分别是 $ΔABC$ 的外接圆和内切圆， $⊙ I$ 与 $AB$ 相切分于点 $F$ ，设 $⊙ O$ 的半径为 $R$ ， $⊙ I$ 的半径为 $r$ ，外心 $O$ （三角形三边垂直平分线的交点）与内心 $I$ （三角形三条角平分线的交点）之间的距离 $OI = d$ ，则有 $d^{2} = R^{2} - 2 Rr$ ．

下面是该定理的证明过程（部分） $:$

延长 $AI$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $I$ 作 $⊙ O$ 的直径 $MN$ ，连接 $DM$ ， $AN$ ．

$∵ ∠ D = ∠ N$ ， $∠ DMI = ∠ NAI$ （同弧所对的圆周角相等）．

$∴ ΔMDI ∽ ΔANI$ ． $∴ \frac{IM}{IA} = \frac{ID}{IN}$ ， $∴ IA \cdot ID = IM \cdot IN$ ，①

如图2，在图1（隐去 $MD$ ， $AN)$ 的基础上作 $⊙ O$ 的直径 $DE$ ，连接 $BE$ ， $BD$ ， $BI$ ， $IF$ ．

$∵ DE$ 是 $⊙ O$ 的直径，所以 $∠ DBE = 90 °$ ．

$∵ ⊙ I$ 与 $AB$ 相切于点 $F$ ，所以 $∠ AFI = 90 °$ ，

$∴ ∠ DBE = ∠ IFA$ ．

$∵ ∠ BAD = ∠ E$ （同弧所对的圆周角相等），

$∴ ΔAIF ∽ ΔEDB$ ，

$∴ \frac{IA}{DE} = \frac{IF}{BD}$ ．

$∴ IA \cdot BD = DE \cdot IF$ ②

任务：（1）观察发现： $IM = R + d$ ， $IN =$ 　 $R - d$ 　（用含 $R$ ， $d$ 的代数式表示）；

（2）请判断 $BD$ 和 $ID$ 的数量关系，并说明理由．

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若 $ΔABC$ 的外接圆的半径为 $5 cm$ ，内切圆的半径为 $2 cm$ ，则 $ΔABC$ 的外心与内心之间的距离为　　 $cm$ ．

某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．

课题	测量旗杆的高度
成员	组长： $xxx$ 组员： $xxx$ ， $xxx$ ， $xxx$
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图		说明：线段 $GH$ 表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度 $AC = BD = 1.5 m$ ，测点 $A$ ， $B$ 与 $H$ 在同一条水平直线上， $A$ ， $B$ 之间的距离可以直接测得，且点 $G$ ， $H$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一竖直平面内，点 $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上，点 $E$ 在 $GH$ 上．
测量数据	测量项目	第一次	第二次	平均值
	$∠ GCE$ 的度数	$25.6 °$	$25.8 °$	$25.7 °$
	$∠ GDE$ 的度数	$31.2 °$	$30.8 °$	$31 °$
	$A$ ， $B$ 之间的距离	$5.4 m$	$5.6 m$
$\dots$	$\dots$

任务一：两次测量 $A$ ， $B$ 之间的距离的平均值是　　 $m$ ．

任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆 $GH$ 的高度．

（参考数据： $\sin 25.7 ° \approx 0.43$ ， $\cos 25.7 ° \approx 0.90$ ， $\tan 25.7 ° \approx 0.48$ ， $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60)$

任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）

某游泳馆推出了两种收费方式．

方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．

设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 $x$ 次，选择方式一的总费用为 $y_{1}$ （元 $)$ ，选择方式二的总费用为 $y_{2}$ （元 $)$ ．

（1）请分别写出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数表达式．

（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 $x$ 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．

中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月在山西举行．太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分．各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．请解答下列问题：

（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用（只写判断结果，不必写理由）．

（2）请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价（从“众数”，“中位数”，或“平均数”中的一个方面评价即可）．

（3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 表示．现把分别印有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“ $A$ ”和“ $B$ ”的概率．

已知：如图，点 $B$ ， $D$ 在线段 $AE$ 上， $AD = BE$ ， $AC / / EF$ ， $∠ C = ∠ F$ ．求证： $BC = DF$ ．