已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中-优题课

已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点．

(Ⅰ)求证：直线平面；
(Ⅱ）求点到平面的距离．

科目数学题型解答题难度较易

已知函数 $f (x) = 4 \cos x \sin (x + \frac{π}{6}) - 1$ 。
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期：
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值。

已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x + \frac{1}{2}$ ， $h (x) = \sqrt{x}$ ．
（Ⅰ）设函数 $F (x =) = 18 f (x) - x^{2} {[h (x)]}^{2}$ ，求 $F (x)$ 的单调区间与极值；
（Ⅱ）设 $a \in R$ ，解关于 $x$ 的方程 $l g [\frac{3}{2} f (x - 1) - \frac{3}{4}] = 2 l g h (a - x) - 2 l g h (4 - x)$ ；
（Ⅲ）设 $n \in N^{+}$ ，证明： $f (n) h (n) - [h (1) + h (2) + \dots + h (n)] \geq \frac{1}{6}$ ．

过点 $C (0, 1)$ 的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆与 $x$ 轴交于两点 $A (a, 0)$ 、 $B (- a, 0)$ ，过点 $C$ 的直线 $l$ 与椭圆交于另一点 $D$ ，并与 $x$ 轴交于点 $P$ ，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 交于点 $Q$ ．

（I）当直线 $l$ 过椭圆右焦点时，求线段 $C D$ 的长；
（Ⅱ）当点 $P$ 异于点 $B$ 时，求证： $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q}$

已知 $\{a_{n}\}$ 是以 $a$ 为首项， $q$ 为公比的等比数列， $S_{n}$ 为它的前 $n$ 项和．
（Ⅰ）当 $S_{1}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4}$ 成等差数列时，求 $q$ 的值；
（Ⅱ）当 $S_{m}$ 、 $S_{n}$ 、 $S_{l}$ 成等差数列时，求证：对任意自然数 $k$ ， $a_{m + k}$ 、 $a_{n + k}$ 、 $a_{l + k}$ 也成等差数列．

如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ，延长 $A_{1} C_{1}$ 至点 $P$ ，使 $C_{1} P = A_{1} C_{1}$ ，连接 $A P$ 交棱 $C C_{1}$ 于 $D$ ．

（Ⅰ）求证： $P B_{1} / /$ 平面 $B D A_{1}$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - A_{1} D - B$ 的平面角的余弦值；

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