过点的圆C与直线相切于点.（1）求圆C的方程；（2）已知点的-优题课

题文

过点的圆C与直线相切于点.
（1）求圆C的方程；
（2）已知点的坐标为，设分别是直线和圆上的动点，求的最小值．
（3）在圆C上是否存在两点关于直线对称，且以为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由.

科目数学题型解答题难度较易

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已知抛物线 $C$ 的方程 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 过点 $A (1, - 2)$ .
（I）求抛物线 $C$ 的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于 $O A$ （O为坐标原点）的直线 $l$ ，使得直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有公共点，且直线 $O A$ 与 $l$ 的距离等于 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由。

设平面向量 $a_{m} = (m, 1), b_{n} = (2, n)$ ，其中 $m, n \in \{1, 2, 3, 4\}$ .
（I）请列出有序数组 $(m, n)$ 的所有可能结果；
（II）记"使得 $a_{m} ⊥ (a_{m} - b_{n})$ 成立的 $(m, n)$ "为事件 $A$ ，求事件 $A$ 发生的概率.

数列 $\{a_{n}\}$ 中, $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} - S_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n + 1} (n \in N^{*})$ .

(I)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ 以及前 $n$ 项和 $S_{n}$ .
(II)若 $S_{1}, t (S_{1} + S_{2}), 3 (S_{2} + S_{3})$ 成等差数列，求实数 $t$ 的值.

在数列 $\{a_{n}\}$ 中, $a_{1} = 0$ ,且对任意 $k \in N^{*}, a_{2 k - 1}, a_{2 k}, a_{2 k + 1}$ 成等差数列，其公差为 $2 k$ .
（Ⅰ）证明 $a_{4}, a_{5}, a_{6}$ 成等比数列；
（Ⅱ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅲ）记 $T_{n} = \frac{2^{2}}{a_{2}} + \frac{3^{2}}{a_{3}} + \dots + \frac{n^{2}}{a_{n}}$ ，证明 $\frac{3}{2} < 2 n - T_{n} \leq 2 (n \geq 2)$ .

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(- a, 0)$ .
（i）若 $|A B| = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角；
（ii）若点 $Q (0, y_{0})$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，且 $\overset{⇀}{Q A} = \overset{⇀}{Q B} = 4$ .求 $y_{0}$ 的值.

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