已知：，求证：.-优题课

已知在 $△ ABC$ 中, $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ , 且 $a = 3, b = 2 c$ .

(1) 若 $A = \frac{2 π}{3}$ , 求 $△ ABC$ 的面积. (2) 若 $2 sin B - sin C = 1$ , 求 $△ ABC$ 的周长.

如图, 在长方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 已知 $AB = BC = 2, A A_{1} = 3$ .

(1) 若点 $P$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 上的动点, 求三棱锥 $C - PAD$ 的体积.

(2) 求直线 $A B_{1}$ 与平面 $AC C_{1} A_{1}$ 的夹角大小.

定义 $R_{p}$ 数列 $\{a_{n}\} :$ 对 $p \in R$ , 满足:

① $a_{1} + p ⩾ 0, a_{2} + p = 0$ ;

② $\forall n \in N^{*}, a_{4 n - 1} < a_{4 n}$ ;

③ $\forall m, n \in N^{*}, a_{m + n} \in \{a_{m} + a_{n} + p, a_{m} + a_{n} + p + 1\}$ .

(1) 对前 4 项 $2, - 2, 0, 1$ 的数列, 可以是 $R_{2}$ 数列吗? 说明理由.

(2) 若 $\{a_{n}\}$ 是 $R_{0}$ 数列, 求 $a_{5}$ 的值.

(3) 是否存在 $p \in R$ , 使得存在 $R_{p}$ 数列 $\{a_{n}\}$ , 对任意 $n \in N^{*}$ , 满足 $S_{n} ⩾ S_{10}$ ? 若存在, 求出所有这样的 $p$ ; 若不存在, 请说明理由.

已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0, - 2)$ , 以四个顶点围成的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ .

(1) 求椭圆 $E$ 的标准方程.

(2) 过点 $P (0, - 3)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$ , 交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B, C$ , 直线 $AB, AC$ 交 $y = - 3$ 于点 $M, N$ , 若 $|PM| + |PN| ⩽ 15$ , 求 $k$ 的取值范围.

已知函数 $f (x) = \frac{3 - 2 x}{x^{2} + a}$ .

(1) 若 $a = 0$ , 求 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程.

(2) 若函数 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极值, 求 $f (x)$ 的单调区间, 以及最大值和最小值.