某高校组织的自主招生考试，共有1000名同学参加笔试，成绩均介于60分到100分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分为4组：第1组[60,70），第2组[70,80），第3组[80,90），第4组[90,100].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在85分（含85分）以上的同学有面试资格.
（Ⅰ）估计所有参加笔试的1000名同学中，有面试资格的人数；
（Ⅱ）已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格，且甲的笔试比乙的高；面试时，要求每人回答两个问题，假设甲、乙两人对每一个问题答对的概率均为
；若甲答对题的个数不少于乙，则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率.
（本小题满分10分）
已知向量
，
．
（1）设
，求
；（2）若
，求
的值.
（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）
已知数列
中，
，
，记
为的前
项的和．设
，
（1）证明：数列
是等比数列；
（2）不等式：
对于一切
恒成立，求实数
的最大值．
（本小题满分12分）
如图，已知斜三棱柱
的侧面
与底面ABC垂直，
（1）求侧棱
与底面ABC所成的角；
（2）求侧面
与底面ABC所成的角；
（3）求顶点C到平面的距离．
（本小题满分12分）如图，在四棱柱
中，底面
是矩形，且
，
，
．若
为
的中点，且
．
（1）求证：
平面；
（2）线段
上是否存在一点
，使得二面角
为
？若存在，求出
的长；不存在，说明理由．
（本小题满分12分）
设数列
是公比小于1的正项等比数列，
为数列的前
项和，已知
，且
成等差数列。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若
，且数列
是单调递减数列，求实数
的取值范围。